Question

limite de raiz cubica de x-3 / x-27 , quando x tende a 27

Answer 1

Calcular o limite

     $\Large\begin{array}{l} \lim\limits_{x\to 27}\dfrac{\sqrt[3]{x}-3}{x-27} \end{array}$


Faça uma mudança de variável:

     $\Large\begin{array}{l} \sqrt[3]{x}=u\quad\Rightarrow\quad x=u^3 \end{array}$

e temos que  u  tende a  3  quando  x  tende a  27.  Assim, o limite fica

     $\Large\begin{array}{l} \lim\limits_{u\to 3}~\dfrac{u-3}{u^3-27}\\\\ \lim\limits_{u\to 3}~\dfrac{u-3}{u^3-3^3} \end{array}$


Fatore a diferença entre dois cubos usando produtos notáveis:

     a³ − b³ = (a − b) . (a² + ab + b²)

para  a = u  e  b = 3:

     $\Large\begin{array}{l} =\lim\limits_{u\to 3}~\dfrac{u-3}{(u-3)\cdot (u^2+u\cdot 3+3^2)}\\\\ =\lim\limits_{u\to 3}~\dfrac{u-3}{(u-3)\cdot (u^2+3u+9)} \end{array}$


Simplifique o fator comum  (u − 3)  que aparece no numerador e no denominador:

     $\Large\begin{array}{l} =\lim\limits_{u\to 3}~\dfrac{1}{u^2+3u+9}\\\\ =\dfrac{1}{3^2+3\cdot 3+9}\\\\ =\dfrac{1}{9+9+9} \end{array}$

      $\Large\begin{array}{l} =\dfrac{1}{27} \end{array}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)