Question

Limite de (está na foto)​

Answer 1

Resposta:

P.102  -1 / (2x)

P.103   a^(1/n -1) / n

Explicação passo-a-passo:

P.102

Em geral pra quociente de polinômios quando o limite tende a infinito a ideia é fatorar a variável e cortar a indeterminação:

$\displaystyle \lim_{h \to + \infty} \, \dfrac{3h+2xh^2 +x^2h^3 }{4-3xh - 2x^3 h^3} = \lim_{h \to + \infty} \,\dfrac{h^3 \left( \dfrac 3 {h ^2} + \dfrac{2x}{h} + x^2 \right) }{ h^3 \left( \dfrac 4 {h ^3} - \dfrac{3x}{h^3} -2x^3 \right)}$

Podemos calcular cada um dos limites nos colchetes:

  $\displaystyle \boxed{\lim_{h \to + \infty} \, \left( \dfrac 3 {h ^2} + \dfrac{2x}{h} + x^2 \right) = x^2} \quad \qquad\boxed{ \lim_{h \to + \infty} \, \left( \dfrac 4 {h ^3} - \dfrac{3x}{h^3} -2x^3 \right) = -2x^3}$

Disso temos:

$\displaystyle \lim_{h \to + \infty} \, \dfrac{3h+2xh^2 +x^2h^3 }{4-3xh - 2x^3 h^3} = \dfrac{\displaystyle \lim_{h \to + \infty} \left( \dfrac 3 {h ^2} + \dfrac{2x}{h} + x^2 \right) }{ \displaystyle \lim_{h \to + \infty} \left( \dfrac 4 {h ^3} - \dfrac{3x}{h^3} -2x^3 \right)} = \dfrac{x^2}{-2x^3} = -\dfrac 1{2x}$

Portanto a resposta final e -1/(2x)

P.103

Vamos relembrar a seguinte fatoração:

Aⁿ -  Bⁿ = (A-B)(Aⁿ⁻¹ + Aⁿ⁻²B¹ + .... +A¹Bⁿ⁻¹ + Bⁿ)

Aplicando isso para $\mathsf{A = \sqrt[n]{x}}$ e $\mathsf{B = \sqrt[n]{a}}$ temos:

$x - a = ( \sqrt[n]x - \sqrt[n] a) \left( \sqrt[n]{x^{n-1}} + \sqrt[n]{x^{n-2}a} + \cdots + \sqrt[n]{xa^{n-2}} + \sqrt[n]{a^{n-1}} \right)$

Usando isso o limite fica:

$\displaystyle \lim _{x \to a} \, \dfrac{\sqrt[n] x - \sqrt[n] a}{x-a} = \lim_{x \to a} \, \dfrac{1}{\sqrt[n]{x^{n-1}} + \sqrt[n]{x^{n-2}a} + \cdots + \sqrt[n]{xa^{n-2}} + \sqrt[n]{a^{n-1}}} = \dfrac 1{n\sqrt[n]{a^{n-1}}}$

É mais fácil de "ver" a fatoração se usarmos uma mudança de variável. Por exemplo, trocarmos x por yⁿ e a por bⁿ, o limite fica:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac{\sqrt[ n] x - \sqrt[n] a}{x-a} = \lim_{y \to b} \,\dfrac{y - b}{y^n - b^n}$  ( I )

Usando que yⁿ -  bⁿ = (y-b)(yⁿ⁻¹ + yⁿ⁻²b¹ + .... +y¹bⁿ⁻¹ + bⁿ) obtemos:

$\displaystyle \lim_{y \to b} \,\dfrac{y-b}{y^n - b^n} = \lim_{y \to b} \dfrac{1}{y^{n-1} + y^{n-2}b + \cdots + yb^{n-2}+ b^{n-1}} = \dfrac{1}{nb^{n-1}}$

Trocando novamente b por a^(1/n) obtemos a resposta:

$\displaystyle \lim_{x \to a} \, \dfrac{\sqrt[ n] x - \sqrt[n] a}{x-a} =\dfrac{1}{n \sqrt[n]{a^{n-1}}} = \dfrac{1}{n a^{\frac{n-1}{n}}} = \dfrac{a^{\frac 1n - 1}}{n}$

Obs.: (Se vc já sabe derivadas) O limite a ser calculado é claramente a derivada de f(x) = x^(1/n) no ponto x =a. Então a resposta é (1/n) a^(1/n -1). Note a semelhança desse limite com o obtido em ( I ) apos a mudança de variável. Isso indica que conhecendo a derivada de f(x) = xⁿ  também conseguimos descobrir a derivada de g(x) = x^(1/n), que é a inversa de f. Nesse problema trocamos a por bⁿ. Ou seja, a = f(b)  e obtemos

g'(a) = 1 / f'(b)

pois nbⁿ⁻¹ = f'(b). Em condições bastante gerais isso é verdade e conhecido como teorema da função inversa.