Question

limite de (2/3x²-1/6)/x-2 com x-> 2

Me ajudem a escapar dá indeterminação!!

Answer 1

Olá

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$\displaystyle \lim_{x \to 2} ~ \frac{ \frac{2}{3x^2} - \frac{1}{6} }{x-2} \\ \\ \\ \text{Tira o MMC entre } \frac{2}{3x^2} - \frac{1}{6} \\ \\ \\ \lim_{x \to 2} ~ \frac{ \frac{12-3x^2}{3x^2\cdot6} }{x-2} \\ \\ \\\lim_{x \to 2} ~ \frac{ \frac{12-3x^2}{18x^2} }{x-2} \\ \\ \\ \text{Poe o 3 em evidencia e simplifica} \\ \\ \\ \lim_{x \to 2} ~ \frac{ \frac{\diagup\!\!\!\!3(4-x^2)}{\diagup\!\!\!\!3(6x^2)} }{x-2} \\ \\ \\ \lim_{x \to 2} ~ \frac{ \frac{4-x^2}{6x^2} }{x-2}$

$\displaystyle \text{Divisao de fracao, multiplica a primeira pelo inverso da segunda} \\ \\ \\ \lim_{x \to 2} ~ \frac{ 4-x^2 }{6x^2} \cdot \frac{1}{x-2} \\ \\ \\ \text{Veja que temos um produto notavel no numerador, porem o x esta}\\\text{negativo, para compensar isso, colocamos um sinal de menos quando}\\\text{for escrever o produto notavel} \\ \\ (a-x)^2=-(x-a)(x+b) \\ \\ \text{aplicando no limite} \\ \\ \\ \lim_{x \to 2} ~ -\frac{ (x-2)(x+2) }{6x^2} \cdot \frac{1}{x-2} \\ \\ \\ \text{Simplifica}$

$\displaystyle \lim_{x \to 2} ~- \frac{ (~~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x-2)(x+2) }{6x^2} \cdot \frac{1}{~~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(x-2)} \\ \\ \\ \lim_{x \to 2} ~- \frac{ x+2 }{6x^2}~=~- \frac{2+2}{6\cdot(2)^2} ~=~- \frac{4}{24} ~=~\boxed{- \frac{1}{6} }$