Matemática, perguntado por andrianni2928, 1 ano atrás

limite de (1/x)^x quando x tende para zero exercicios resolvidos

Soluções para a tarefa

Respondido por trindadde
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Olá!

     Lembre da relação:  a^b=e^{b\ln{a}}  e das regras de L'Hospital (aqui no caso vou manipular a função para chegar numa indeterminação do tipo   \frac{\infty}{\infty}   e poder, dessa forma, aplicar L'Hospital).

     Temos que:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{x\to 0}e^{x\ln{\frac{1}{x}}}. \\ \\ \\ \text{Agora, para $x\to 0$ temos $\ln(1/x)\to \infty.
$  Ent\~ao,}\\ \\ \lim_{x\to 0}\left(x\ln{\dfrac{1}{x}}\right) = \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}\;\overset{L'H}{=}\;\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{-1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} = \lim_{x\to 0}\dfrac{-1}{x}\cdot \dfrac{x^2}{-1} = \\ \\ \\ = 
\lim_{x\to 0}x = 0. \\ \\ \therefore
\lim_{x\to 0}e^{x\ln{\frac{1}{x}}} = e^0 = 1.

 
    Ou seja, 


\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}\right)^x=1.



Bons estudos!
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