Question

limite de (1/x)^x quando x tende para zero exercicios resolvidos

Answer 1

Olá!

     Lembre da relação:  $a^b=e^{b\ln{a}}$  e das regras de L'Hospital (aqui no caso vou manipular a função para chegar numa indeterminação do tipo   $\frac{\infty}{\infty}$   e poder, dessa forma, aplicar L'Hospital).

     Temos que:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{x\to 0}e^{x\ln{\frac{1}{x}}}. \\ \\ \\ \text{Agora, para x\to 0 temos \ln(1/x)\to \infty. Ent\~ao,}\\ \\ \lim_{x\to 0}\left(x\ln{\dfrac{1}{x}}\right) = \lim_{x\to 0}\dfrac{\ln{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}\;\overset{L'H}{=}\;\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{-1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} = \lim_{x\to 0}\dfrac{-1}{x}\cdot \dfrac{x^2}{-1} = \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}x = 0. \\ \\ \therefore \lim_{x\to 0}e^{x\ln{\frac{1}{x}}} = e^0 = 1.$

 
    Ou seja, 


$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}\right)^x=1.$



Bons estudos!