Question

limite de 1-senx) / 2x-pi quando x tende a pi/2? heeelllpppp :)

Answer 1

Resolver o limite:

     $\mathsf{ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-sen\ x}{2x-\pi}}$


Vamos primeiro fazer uma substituição de tendência, trocando a variável

     $\mathsf{2x-\pi=u}$

__________


Portanto "x" será:

     $\mathsf{2x-\pi=u}$

     $\mathsf{2x=u+\pi}$

     $\mathsf{x=\dfrac{u+\pi}{2}}$

     $\mathsf{x=\dfrac{u}{2}+\dfrac{\pi}{2}}$


Veja que quando "x" tende a "π/2", "u" tende a "0":

     $\mathsf{\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{u}{2}+\dfrac{\pi}{2}}$

     $\mathsf{\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{u}{2}}$

     $\mathsf{0=\dfrac{u}{2}}$

     $\mathsf{0=u}$

__________


Logo

     $\left\{\!\begin{array}{lc}\mathsf{x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}}\\\\ \mathsf{u \rightarrow 0}\end{array}\right.$


Substituindo "x" por "u" no limite ficamos com

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{1-sen\ (\frac{\pi}{2}+\frac{u}{2})}{u}}$


Agora usando a propriedade da soma de arcos de seno obtemos

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{1-(sen \frac{\pi}{2}\cdot cos\ \frac{u}{2}+sen\ \frac{u}{2}\cdot cos\ \frac{\pi}{2})}{u}}$

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{1-cos\ \frac{u}{2}}{u}}$


Agora vamos multiplicar o a fração pelo conjugado do denominador em cima e embaixo

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{1-cos\ \frac{u}{2}}{u}\cdot \dfrac{1+cos\ \frac{u}{2}}{1+cos\ \frac{u}{2}}}$

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{1-cos^{2}\ \frac{u}{2}}{u\cdot (cos\ \frac{u}{2}+1)}}$

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{1-cos^{2}\ \frac{u}{2}}{2u}}$

     $\mathsf{ \lim_{u \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{sen^{2}\ \frac{u}{2}}{2u}}$

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{sen\frac{u}{2}\cdot sen \frac{u}{2}}{2u}}}$


Agora vamos dividir em cima e em baixo por "u/2"

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!\!\!sen\frac{u}{2}\cdot sen \frac{u}{2}}{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\ \frac{u}{2}}}{\dfrac{2\diagup\!\!\!\!\!u}{\frac{\diagup\!\!\!\!\!u}{2}}}}}$

     $\mathsf{ \lim_{u \to 0} \dfrac{sen\frac{u}{2}}{4}}}$

Obs: Lembrando que (sen x) / x = 1 de acordo com as propriedades dos limites.


Agora podemos substituir a tendência

     $\mathsf{= \dfrac{sen\ 0}{4}}}$

     $\boxed{\mathsf{=0}}$


Bons estudos! :)