Question

Limite de (1+senx)^(1/x) quando X tende a 0

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\sf \lim_{x \to 0}(1 + senx) {}^{ \frac{1}{x} }$

Primeiramente vamos substituir o valor a qual o "x" tende, para que possamos observar uma certa coisa:

$\sf (1 + sen(0)) {}^{ \frac{1}{0} } = (1) {}^{ \frac{1}{0} }$

Surgiu uma indeterminação, já que algo divisível por "0" não é determinado. Para resolver esse limite é necessário desaparecer com essa indeterminação através de alguma manipulação algébrica. Vamos iniciar lembrando da seguinte propriedade:

$\sf e {}^{ln(x)} = x$

Ou seja, podemos elevar essa expressão:

$\sf (1 + senx) {}^{ \frac{1}{x} } \sf = e {}^{ln(1 + senx) {}^{ \frac{1}{x} } }$

Agora vamos lembrar de outra propriedade:

$\sf ln(a) {}^{b} = b.ln(a)$

Aplicando essa propriedade:

$\sf e {}^{ln(1 + senx) {}^{ \frac{1}{x} } } = e {}^{ \frac{1}{x}.ln(1 + senx )} = e {}^{ \frac{ln(1 + senx)}{x} }$. Vamos substituir mais uma vez o valor a qual o "x" tende:

$\sf e {}^{ \frac{ln(1 + senx)}{x} } = e {}^{ \frac{ln(1 + sen0)}{0} } = e {}^{ \frac{ln(1)}{0} } = e {}^{ \frac{0}{0} }$

Dado que a indeterminação é do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, pois a mesma só pode ser aplicada quando tem-se indeterminações do tipo:

$\sf \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: e \: \: \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{ \infty }$

A regra de L'Hôpital nos diz que quando temos uma indeterminação assim, podemos derivar várias vezes o denominador e numerador da função até que a indeterminação suma.

$\sf e {}^{\lim_{x \to0}\frac{ln(1 + senx)}{x}} = e {}^{ \lim_{x \to0} \frac{ \frac{d}{dx}ln(1 + senx) }{ \frac{d}{dx} (x)} } = e {}^{\lim_{x \to0} \frac{cosx}{1 + senx} }$

Substituindo o valor a qual o "x" tende mais uma vez no local do mesmo:

$\sf e {}^{ \frac{cos0}{1 + sen0} } = e {}^{ \frac{1}{1} } = e$

Portanto podemos concluir que:

$\sf \lim_{x \to 0}(1 + senx) {}^{ \frac{1}{x} } = e$

Espero ter ajudado