Question

Limite bilatérias UFRN

15)

$\Large \lim_{x \to 0} \frac{sen(sen(x))}{sen(x)}$


Mostre os cálculos é as propriedades utilizadas

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf \lim_{x \to 0} \frac{sen(sen(x))}{sen(x)} \: \: \bullet$

Como de praxe, vamos primeiro substituir o valor a qual o x tende.

$\sf \lim_{x \to0} \frac{sen(sen(0))}{sen(0)} \: \: \to \: \: \lim_{x \to0} \frac{sen(0)}{0} \\ \\ \boxed{ \sf \lim_{x \to0} \frac{0}{0}}$

Note que surgiu uma indeterminação de 0/0, isto nos permite utilizar a regra de L'Hôpital, que diz que quando temos limites que resultam em indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞, podemos derivar o denominador e o numerador de forma que remova esta indeterminação:

$\sf \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: ou \: \: \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ \infty }{ \infty } \\ \\ \sf logo: \lim_{x \to a} \frac{ \frac{d}{dx}(f(x)) }{ \frac{d}{dx}(g(x)) }$

Aplicando esta propriedade nos limites:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \lim_{x \to0} \frac{ \frac{d}{dx} (sen(sen(x)))}{ \frac{d}{dx}( sen(x))}$

Derivando separadamente, temos:

$\sf \frac{d}{dx }(sen(sen(x)) = cos(sen(x)).cos(x) \\ \\ \sf\frac{d}{dx} (sen(x)) = cos(x)$

Substituindo estas expressões no limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \sf \lim_{x \to 0} \frac{cos(sen(x)).cos(x)}{cos(x)}$

Para finalizar basta substituir mais uma vez o valor a qual o x tende. Caso ainda permaneça a indeterminação, a regra ainda se aplica de novo.

$\sf \lim_{x \to 0} \frac{cos(sen(0)).cos(0)}{cos(0)} \: \: \to \: \: \lim_{x \to 0} \frac{cos(0).1}{1} \\ \\ \sf \lim_{x \to 0} \frac{1.1}{1} \: \to \: \: \lim_{x \to 0} 1$

O limite de uma constante é a própria constante, portanto temos que a resposta deste limite é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \lim_{x \to0} \frac{sen(sen(x))}{sen(x)} = 1}$

Espero ter ajudado