Question

lim x3+1 / x2 + 4x + 3 quando x tende a -1
Alguém para me ajudar na resolução? por favor!

Answer 1

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 + 4x + 3}$

Se substituirmos x por -1 imediatamente, teremos divisão por zero. Então precisamos fatorar o denominador... Para isso, basta encontrar os zeros da equação quadrática:

$\Delta = 4^2 - 4 \times 3 = 16 - 12 = 4\\\\\\\frac{-4 \pm 2}{2} = -1\ ou -3$

Podemos fatorar equações quadráticas da seguinte forma:

$a(x - x_1)(x - x_2)$

Sendo x1 e x2 os zeros da equação. Ou seja:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{(x+3)(x+1)}$

Mas isso não ajuda, por enquanto. Se pudermos fatorar o numerador de modo a poder cortar um dos seus fatores com um dos numeradores, estaremos indo bem. Perceba que a expressão $x^3 + 1$ pode ser escrita como $x^3 + 1^3$, ou seja, uma soma de dois cubos. A fatoração da soma de dois cubos é:

$(x + y) (x^2 - xy + y^2)$

Aplicando isso ao caso em questão, temos:

$\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{(x+3)(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x+3)(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 1}{x + 3}$

Finalmente, podemos simplesmente substituir x por -1, sem problemas!

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2-x+1}{x+3} = \frac{(-1)^2 -(-1) + 1}{-1 + 3} = \frac{1 + 1 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

E obtivemos a resposta.