Question

Lim X² + X + 1 / (x+1)³ - x³

x tende à - infinito

Answer 1

Boa noite Thaisa!

Thaisa! Antes de resolver o limite vamos resolver esse denominador.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ x^{2} +x+1}{(x+1)^{3}- x^{3} }$

Vamos agora resolver o denominador que esta elevados a terceira.

$(x-1)^{3} =(x+)\times(x+1)\times(x+1)$

$(x-1)^{3} =( x^{2} +2x+1)\times(x+1)$

$(x-1)^{3} =( x^{3} + x^{2} +2 x^{2} +2x+x+1)$

Agora colocando no limite fica assim.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ x^{2} +x+1}{( x^{3} + x^{2} +2 x^{2} +2x+x+1- x^{3}) }$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ x^{2} +x+1}{3 x^{2} +3x+1 }$

Veja que conseguimos deixar o numerador e o denominador com uma função do segundo grau.

A gora vamos dividir a função do numerador e a função do denominador pelos maiores expoente de cada função.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ x^{2} +x+1}{3 x^{2} +3x+1 }$

Lembrando que um numero pequeno dividido por um numero infinitamente grande tende a zero então o limite fica assim.

Não vou fazer todas as passagens ok.

$\BF\lim_{x \to -\infty}\BF \frac{ x^{2} +x+1}{3 x^{2} +3x+1}=\BF \frac{1}{3}$

Boa noite!
Bons estudos!

Answer 2

Oi Thaisa :)

Sabendo que (x+1)³-x³ = 3x²+3x+1, então temos: 

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x+1}{3x^2+3x+1} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2(1+ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) }{x^2(3+\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{(1+ \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) }{(3+\frac{3}{x} + \frac{1}{x^2})} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{(1+ \frac{1}{-\infty} + \frac{1}{(-\infty)^2}) }{(3+\frac{3}{-\infty} + \frac{1}{(-\infty)^2})}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1+ 0+ 0 }{3+0+0} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 }{3}$

$\boxed{\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x+1}{3x^2+3x+1}= \frac{1}{3} }$


Uma forma rápida de analisar o limite seria considerar apenas o termo de maior grau e desprezar o restante:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x+1}{3x^2+3x+1} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{3x^2} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{3}$