Question

lim x² sen( 1 / ³√x )
tal que, x tende a 0

Answer 1

Olá,

Temos o limite:

$\tt \lim_{x \to \: 0} \: {x}^{2} \: sen \left (\frac{1}{ \sqrt[3]{x} } \right)$

Sabendo que:

$\tt \: - 1 \leqslant sen \left( x\right) \leqslant 1$

Assim:

$\tt \: - 1 \leqslant sen \left( \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } \right) \leqslant 1$

Multiplicando por $\tt \: {x}^{2}$

Temos:

$\tt \: - {x}^{2} \leqslant {x}^{2} \: sen \left( \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } \right) \leqslant {x}^{2}$

Podemos fazer:

$\tt \cdot \: f(x) = {x}^{2} \: sen \left( \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } \right)$

$\tt \cdot \: g(x) = - {x}^{2}$

$\tt \: \cdot \: h(x) = {x}^{2}$

Desta forma:

$\tt \: g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$

Fazendo:

$\cdot\tt \lim_{x \to \: 0} g(x) = \lim_{x \to \: 0} - {x}^{2} = - {0}^{2} = 0$

$\cdot\tt \lim_{x \to \: 0} h(x) = \lim_{x \to \: 0} {x}^{2} = {0}^{2} = 0$

Pelo Teorema do Confronto, temos então que:

$\tt \lim_{x \to \: 0} \: f(x) = 0$

Ou seja:

$\boxed{ \tt \lim_{x \to \: 0} \: {x}^{2} \: sen \left (\frac{1}{ \sqrt[3]{x} } \right) = 0}$