Question

lim x² - 6 / x - raiz de 6 quando x tende para raiz de 6

Answer 1

Olá

$\lim_{x \to \sqrt{6} }~ \frac{x^2-6}{x- \sqrt{6} }$


Bom, como vc já deve saber, irá resultar em uma indeterminação do tipo 0/0,
então vamos a resolução para escapar dessa indeterminação.

1º temos uma raiz no denominador, então temos de multiplicar pelo conjugado.

$\lim_{x \to \sqrt{6} }~ \frac{x^2-6}{x- \sqrt{6} }. \frac{x+ \sqrt{6} }{x+ \sqrt{6} } \\ \\ \lim_{x \to \sqrt{6} } ~ \frac{(x^2-6)(x+ \sqrt{6} )}{x^2-6} \\ \\ Podemos~Simplifica~os~termos~em~comum~(x^2-6)~ja~que~estao~ \\ multiplicando...fica \\ \\ \lim_{x \to \sqrt{6} }~ x+ \sqrt{6} = \sqrt{6} + \sqrt{6} = \boxed{2 \sqrt{6} }$


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OK
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Answer 2

Manipulando algebricamente:
(Basta multiplicar pelo conjugado do denominador e simplificar)
$\displaystyle \lim_{x\to\sqrt{6}}\frac{x^2-6}{x-\sqrt{6}} \implies\lim_{x\to\sqrt{6}} \frac{x^2-6}{x-\sqrt{6}} \cdot \frac{x+\sqrt{6}}{x+\sqrt{6}} \implies\lim_{x\to\sqrt{6}} \frac{(x^2-6)(x+\sqrt{6})}{(x^2-6)}\\\\ \implies\lim_{x\to\sqrt{6}} \frac{1(x+\sqrt{6})}{1}=\lim_{x\to\sqrt{6}}x+\sqrt{6}=\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
L'Hôpital:
Pela regra de L'Hôpital (que serve para indeterminações do tipo 0/0) temos: $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, ou seja, deriva a função de cima e de baixo e teremos o mesmo limite da primitiva:

$\displaystyle \lim_{x\to\sqrt{6}}\frac{x^2-6}{x-\sqrt{6}}= \lim_{x\to\sqrt{6}}\frac{(x^2-6)'}{(x-\sqrt{6})'}= \lim_{x\to\sqrt{6}}\frac{2x}{1}=\lim_{x\to\sqrt{6}}2x\implies\\\\\lim_{x\to\sqrt{6}}2x=2\sqrt{6}$