Question

Lim x²+5x+6/x²-x-12
X -> -3

Answer 1

Limites

Temos o seguinte limite.

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2+5x+6}{x^2-x-12}$

Note que se substituirmos x = -3, dará indeterminação.

$\frac{(-3)^2+5.(-3)+6}{(-3)^2-(-3)-12} = \frac{9-15+6}{9+3-12} = \frac{0}{0}$ (indeterminação)

Então precisamos usar alguma manipulação algébrica para resolvermos isso, ou usar a regra de L'hospital. De qualquer forma farei as duas.

1ª forma de resolver

Vamos fatorar as funções do numerador e do denominador, separadamente e checar se conseguimos simplificar.

1º numerador:

$x^2 + 5x + 6$

$x = \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4.1.6} }{2.1}$ ⇒ $x = \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}$ ⇒ $x = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = -3$ e $x_2 = -2$

então

$x^2 +5x+6 = (x-(-3)).(x--(2))$

$x^2+5x+6 = (x+3).(x+2)$

2º denominador.

$x^2 -x - 12$

$x = \frac{-.-1 \pm \sqrt{(-1)^2 -4.1.(-12)}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 +48}}{2} \to x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \to x = \frac{1 \pm 7}{2}$

$x_1 = 4$ $x_2 = -3$

então

$x^2 - x - 12 = (x-4).(x-(-3))$

$x^2-x-12 = (x-4).(x+3)$

agora vamos voltar na equação do limites e substituir os função fatoradas.

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2+5x+6}{x^2-x-12}$

$\lim_{x \to -3} \frac{(x+3).(x+2)}{(x-4).(x+3)}$

podemos simplificar o (x+3) do numerador com o do denominador, ficando :

$\lim_{x \to -3} \frac{(x+2)}{(x-4)}$

agora podemos substituir x = -3

$\frac{-3+2}{-3-4} \to \frac{-1}{-7} \to \frac{1}{7}$

então

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2+5x+6}{x^2-x-12} = \frac{1}{7}$

2ª forma de resolver

Agora vamos usar L'hospital.

relembrando :

A regra de L'hospital diz que um $lim \frac{f}{g}$ resulta numa indeterminação, podemos derivar o numerador e o denominador, ou seja.

$lim \frac{f}{g} = lim \frac{f'}{g'} = lim \frac{f''}{g''} = ...$

Podemos derivar até sumir a indeterminação.

(onde : f e g são funções )

relembrando um pouco derivada, antes de resolver :

$[x^n]' = n.x^{n-1}$

e

$[c]' = 0$ ( onde c é uma constante )

exemplo :

$[x^3+x]' = 3.x^{3-1} + 1.x^{1-1}$

 $[x^3+x]' = 3.x^2 + 1$

então, vamos para o nosso limite :

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2+5x+6}{x^2-x-12}$

ao substituir x = - 3, teremos indeterminação

$\frac{(-3)^2+5.(-3)+6}{(-3)^2-(-3)-12} = \frac{9-15+6}{9+3-12} = \frac{0}{0}$

então vamos derivar as funções

$\lim_{x \to -3} \frac{(x^2+5x+6)'}{(x^2-x-12)'} = \lim_{x \to -3}\frac{2x+5}{2x -1}$

agora podemos substituir x = - 3

$\lim_{x \to -3} \frac{2.(-3)+5}{2.(-3)-1}$

$\frac{-6+5}{-6-1} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$

então :

$\lim_{x \to -3} \frac{x^2+5x+6}{x^2-x-12}$ = $\frac{1}{7}$