Question

lim x² + 3x - 10/3x² - 5x - 2
x → 2

Answer 1

Resposta:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} +3x-10}{3x^{2} -5x-2}$   é  1

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Calcule o seguinte limite:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} +3x-10}{3x^{2} -5x-2}$

Resolução:

Substituindo x por 2 na fração

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} +3x-10}{3x^{2} -5x-2}= \frac{2^{2} +3*2-10}{3*2^{2}-5*2-2 } =\frac{0}{0}$

Vamos cair numa indeterminação do tipo  $\frac{0}{0}$

Quando se tende para um valor finito ( neste caso x → 2) o que se deve fazer é decompor em fatores os polinómios no numerador e no denominador.

Vai-se encontrar um fator comum que se possa cancelar no numerador e no denominador.

Cálculo do zeros em  x² + 3x - 10 , polinómio do numerador

x² + 3x - 10 = 0

Usar Fórmula de Bhascara

x = ( - b ± √Δ ) / (2*a)     onde             Δ = b²- 4 *a * c

Recolher dados:

a = 1

b = 3

c= - 10

Δ = b²- 4 *a * c

Δ = 3²- 4 *1 * ( - 10 ) = 9 + 40 = 49

√Δ = √49 = 7

x1 = ( - 3 + 7 ) / ( 2 * 1 )

x1 = 4 / 2

x1 = 2

x2 = ( - 3 - 7 ) / ( 2 * 1 )

x2 = - 10 / 2

x2 = - 5

O polinómio no numerador decompõe-se em a * ( x - 2 ) * ( x - ( - 5 ) )

= 1 * ( x - 2 ) * ( x +5 )

= ( x - 2 ) * ( x +5 )

Cálculo do zeros em  3x² - 5x - 2, polinómio do denominador

3x² - 5x - 2 = 0

Recolher dados:

a =  3

b = - 5

c = - 2

Δ = b²- 4 *a * c

Δ = ( - 5 )²- 4 *3 * ( - 2 ) = 25 + 24 = 49

√Δ = √49 = 7

x1 = ( - ( - 5 ) + 7 ) / ( 2*3 )

x1 = ( 5 + 7 ) / 6

x1 = 12 / 6

x1 = 2

x2 = ( - ( - 5 ) - 7 ) / ( 2*3 )

x2 =  ( 5 - 7 ) / 6

x2 = - 2 / 6

x2 = ( - 2 : 2 ) / ( 6 : 2 )

x2 = - 1/3

O polinómio no denominador decompõe-se em a * ( x - 2 ) * ( x - ( - 1/3 ) )

= 3 * ( x - 2 ) * ( x + 1/3 )

Voltamos ao limite inicial, substituindo os polinómios pelas decomposições obtidas

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)*(x + 5)}{3(x-2)*( x+\frac{1}{3} )}$

Vamos poder cancelar o fator ( x - 2 ) no numerador e no denominador por dois motivos.

Motivo 1 → só existem multiplicações fora dos parêntesis curvos

Motivo 2 → ( x - 2 ) não toma o valor zero porque está a tender para 2.

                  E estamos a analisar o limite nessa proximidade.

                  Por isso podemos cancelar ambos.

                  Se fossem zero nada se podia fazer, em termos de simplificação

$\lim_{x \to 2} \frac{(x + 5)}{3*( x+\frac{1}{3} )}$

Agora substituímos x por 2 e devemos ter um resultado sem ser indeterminação.

Observação → 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 agora já podemos adicionar

$= \frac{(2 + 5)}{3*( 2+\frac{1}{3} )}=\frac{7}{3*( \frac{6}{3} +\frac{1}{3}) } =\frac{7}{3*\frac{7}{3} }=\frac{7}{7} =1$

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação     ( / ) divisão  

( fator ) é uma parcela de uma multiplicação

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Qualquer dúvida contacte-me na zona dos comentários à resposta.

Nas respostas que dou, quase na totalidade, procuro não só efetuar os cálculos,  mas também explicar o porquê de como e porque se fazem de determinada maneira.

Se quer ver apenas os cálculos, eles estão aqui.

Se quer aprender como se faz, estude a minha resolução,  porque, o que sei, eu ensino.