Question

lim x²-2x/x²-x-2, quando x tende a 2. como resolver

Answer 1

Eu poderia resolver pela regra de L'hopital que é muito facil. Mas acho melhor demostrar pela definição de limite.

Ao substituirmos o "2" no limite, teremos uma indeterminação 0/0

Vamos fatorar o numerador e denominador:

x²-2x = x(x -2)

x²-x-2 = a(x-r1)(x-r2)

temos que achar as raizes. Uma ja sabemos que é 2.

Por soma e produto fica mais rapido:


$\\ r_{1} + r_{2} = \frac{-b}{a} \\ \\ 2+ r_{2} = \frac{-(-1)}{1} \\ \\ r_{2} = -2+1 \\ \\ r_{2} = -1$

então

x² -x -2 = 1(x-2)(x-(-1))

x²-x-2 = (x-2)(x+1)

Só levarmos os resultados ao limite:

$\\ \lim_{x \to 2} \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\ \\ \lim_{x \to 2} \frac{x}{(x+1)} \\ \\ \lim_{x \to 2} \frac{2}{2+1} \\ \\ \lim_{x \to 2} \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$