Question

lim x² - 1
x --- 1 x - 1

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{2~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este limite, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ funções diferenciáveis e logo, contínuas em $c$.

Considerando que as funções são contínuas e sabendo que $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)}=L$.

Então, pela definição de continuidade, temos

$\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)-f(c)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)-g(c)}=L$

Dividindo o numerador e o denominador por $x-c$, temos

$\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=L$

Substituindo $x-c=\Delta{x}$ e fazendo $\Delta{x}\rightarrow~0$, $x\rightarrow~c$. Logo, temos

$\dfrac{\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(x-\Delta{x})}{x-c}}{\underset{\Delta{x}\rightarrow~0}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(x-\Delta{x})}{x-c}}=L$

Esta é a definição de derivada, portanto

$\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$

Devemos calcular o valor do limite $\underset{x\rightarrow1}{\lim}~\dfrac{x^2-1}{x-1}$

Aplicando a regra, temos:

$\underset{x\rightarrow1}{\lim}~\dfrac{(x^2-1)'}{(x-1)'}$

Para derivarmos, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplicando a primeira propriedade, temos

$\underset{x\rightarrow1}{\lim}~\dfrac{(x^2)'-(1)'}{(x)'-(1)'}$

Aplique a regra da potência e a regra da constante

$\underset{x\rightarrow1}{\lim}~\dfrac{2x}{1}$

Por fim, temos

$\underset{x\rightarrow1}{\lim}~2x$

Em sendo contínua, finalizamos a questão afirmando que

$\underset{x\rightarrow1}{\lim}~\dfrac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{\lim}~2x=2$

Este é o resultado do nosso limite.