Question

Lim x+y-4/ raiz de x+y-2 qndo x e y tendem a 2

Answer 1

Calcular o limite da função de duas variáveis:

     $\lim\limits_{(x,\,y)\to (2,\,2)}~\dfrac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}$


Faça uma mudança de variável simples:

     $\sqrt{x+y}=t\quad\Rightarrow\quad x+y=t^2$


e temos que  t  tende a  2,  quando  (x, y)  tende a  (2, 2).  Assim, ficamos com o limite envolvendo apenas uma variável:

     $\displaystyle=\lim_{t\to 2}~\frac{t^2-4}{t-2}\\\\\\ =\lim_{t\to 2}~\frac{t^2-2^2}{t-2}$


Fatore o numerador usando produtos notáveis (diferença entre quadrados):

     $=\lim\limits_{t\to 2}~\dfrac{(t-2)\cdot (t+2)}{t-2}$


Simplifique o fator comum  (t − 2):

     $=\lim\limits_{t\to 2}~(t+2)\\\\\\ =2+2$

     $=4$   <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)