Question

lim┬(x→-∞)⁡〖x^2/(x+1)〗

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\sf \lim_{x \longrightarrow - \infty} \frac{x {}^{2} }{x + 1}$

Primeiramente vamos substituir o valor a qual o "x" tende, ou seja, menos infinito:

$\sf \frac{x {}^{2} }{x + 1} \longleftrightarrow \frac{( - \infty ) {}^{2} }{ - \infty + 1} \longleftrightarrow \frac{ \infty }{ - \infty }$

Como você pode observar, temos uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, então vamos usar uma forma de acabar com essa indeterminação que é dividir todos os termos pelo termo de maior grau do denominador, ou seja, no nosso caso será "x", então:

$\sf \lim_{x \longrightarrow - \infty} \frac{x {}^{2} }{x + 1} \longleftrightarrow \lim_{x \longrightarrow - \infty} \frac{ \frac{x {}^{2} }{x} }{ \frac{x}{x} + \frac{1}{x} }$

• De acordo com um certo Teorema, temos que:

→ Seja "n" um número natural, podemos dizer que $\boxed{ \sf \lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \frac{1}{x {}^{n} } = 0}$, aplicando esse teorema:

$\sf \lim_{x \longrightarrow - \infty} \frac{x}{1 + 0} \longleftrightarrow \lim_{x \longrightarrow - \infty} x$

Certamente sumimos com a indeterminação, então podemos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \lim_{x \longrightarrow - \infty} x \longleftrightarrow \lim_{x \longrightarrow - \infty} - \infty = \boxed{ \sf - \infty }$

Outra forma bem mais rápida de resolver esse limite é utilizando a regra de L'Hôpital, essa tal regra nos permite usá-la quando temos indeterminações do tipo: $\sf\lim_{x\longrightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=0\:\:\:e\:\:\:\lim_{x\longrightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty$, se você observar é justamente o tipo da nossa indeterminação, então de acordo coma regra podemos utilizar:

$\boxed{ \sf \lim_{x \longrightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \longrightarrow a} \frac{ \frac{d}{dx} f(x)}{ \frac{d}{dx} g(x)} }$

Aplicando:

$\sf \lim_{x \longrightarrow - \infty } = \frac{ \frac{d}{dx}(x {}^{2} )}{ \frac{d}{dx}( x + 1) } \longleftrightarrow \lim_{x \longrightarrow - \infty } \frac{2x}{1}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \lim_{x \longrightarrow - \infty } 2x \longleftrightarrow \lim_{x \longrightarrow - \infty } 2.( - \infty ) = \boxed{ \sf - \infty }$

Espero ter ajudado