Question

lim x tendendo a 1 raiz cubica de x - 1 / raiz quadrada de x - 1

Answer 1

$L=\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}\\ \\ \\ L=\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x^{1/3}-1}{x^{1/2}-1}\\ \\ \\ L=\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x^{2/6}-1}{x^{3/6}-1}\\ \\ \\ L=\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(x^{1/6})^{2}-1}{(x^{1/6})^{3}-1}$


Fazendo a substituição

$u=x^{1/6}$

temos que

$u\to 1$ quando $x\to 1.$


Substituindo no limite, temos

$L=\underset{u\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{u^{2}-1}{u^{3}-1}$


Como $u\to 1$ zera o numerador e o denominador, garantimos que ambos são divisíveis por $(u-1).$ Fatorando o numerador e o denominador por $(u-1):$

$L=\underset{u\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(u-1)\,(u+1)}{(u-1)\,(u^{2}+u+1)}$


Simplificando o fator comum $(u-1)$ no numerador e no denominador, temos

$L=\underset{u\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{u+1}{u^{2}+u+1}\\ \\ \\ L=\dfrac{1+1}{1^{2}+1+1}\\ \\ \\ L=\dfrac{2}{3}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{\begin{array}{c}\underset{x\to 1}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{2}{3} \end{array}}$