Question

lim x tende a - infinito (7+x)/(2x+1) ?

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{7+x}{2x+1}$

Vamos colocar x em evidência no numerador e no denominador:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{7+x}{2x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x(\frac{7}{x}+1)}{x(2+\frac{1}{x})}$

Cortando x (pois x ≠ 0):

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{(\frac{7}{x})+1}{(\frac{1}{x})+2}$

Agora, podemos usar a regra do quociente, já que os limites do numerador e do denominador existem e o do denominador é não-nulo

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)}~~~se~os~limites~existem~e~\lim\limits_{x\righarrow a}g(x)\neq0}}$

Então:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{7+x}{2x+1}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(\frac{7}{x}+1)}{\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(\frac{1}{x}+2)}$

Podemos ver facilmente que $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{7}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{x}=0$, pois o numerador é constante e está sendo dividido por números cada vez maiores em módulo (informal mas suficiente para entender)

Logo:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{7+x}{2x+1}=\dfrac{0+1}{0+2}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{7+x}{2x+1}=\dfrac{1}{2}}}$

Answer 2

lim (7+x)/(2x+1) ⇒ L'Hospital ⇒ lim (0+1)/(2+0) = 1/2
x→-∞                                       x→-∞

Ou também pode ser feito apenas colocando x em evidência:

lim (7+x)/(2x+1) = x(7/x+1)/x(2+1/x) = (7/x+1)/(2+1/x) = (0+1)/(2+0) = 1/2
x→-∞