Question

Lim x->+∞ de ((1/n)+1)^n+3

Answer 1

Resposta:

e+3

Explicação passo-a-passo:

Para resolver esse problema, usaremos a derivada da função logaritmo natural. Temos que, para todo $x\in (0,+\infty)}$,

$\frac{dln}{dx}(x) = \frac{1}{x}$

Segue que, para $x=1$,

$\frac{dln}{dx}(1) = 1$

Em termos de limites, temos que

$\frac{dln}{dx}(1) = \lim_{x\to 0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1$

Como a exponencial é a função inversa do logaritmo,

$\frac{ln(1+x)}{x} = ln((1+x)^{1/x})\implies (1+x)^{1/x} = e^{ln((1+x)^{1/x})}$

Segue que

$\lim_{x\to 0} ((1+x)^{1/x}) = \lim_{x\to 0} e^{ln((1+x)^{1/x})} = e$

Pondo $y=\frac{1}{x}$, segue que

$\lim_{x\to 0} ((1+x)^{1/x}) = \lim_{y\to +\infty} (1+\frac{1}{y})^{y} = e$

Em particular, isso vale para $y=n\in \mathbb{N}$, isto é,

$\lim_{n\to +\infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$

Segue que o limite original vale

$\lim_{n\to +\infty} ((1+\frac{1}{n})^n+3) = e+3$

Observação: Uma das formas de definir o número de Euler $e$ é exatamente pelo limite $\lim_{n\to +\infty} (1+\frac{1}{n})^n$

Answer 2

Lim n->+∞ de ((1/n)+1)^n+3

=Lim n->+∞ de ((1/n)+1)^n. Lim n->+∞ de ((1/n)+1)^3= e. 1³=e