Question

lim x-> 5 x^2-10x+25 / x-5

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-2\cdot x\cdot5+5^{2}}{x-5}$

Veja que temos um quadrado da diferença de dois termos expandido no numerador, e podemos reescrevê-lo como

$x^{2}-2\cdot x\cdot5+5^{2}=(x-5)^{2}~~~(j\'a~que~(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2})$

Logo:

$\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{(x-5)^{2}}{(x-5)^{1}}$

Como x ≠ 5 (definição de limites), podemos cancelar:

$\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x-5}{1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}(x-5)\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=5-5\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=0}}$

P.S: Também podemos resolver esse limite usando a Regra de L'Hospital, caso já tenha aprendido derivadas.
__________

Regra de L'Hospital

Se

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0~~e~~\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0$

ou

$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty~~e~~\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty$

Então:

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Caso o limite da direita exista.
__________

$\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}$

Veja que $\lim\limits_{x\rightarrow5}(x^{2}-10x+25)=0$ e $\lim\limits_{x\rightarrow5}(x-5)=0$, então vamos usar a

Regra de L'Hospital:

$\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{2x^{2-1}-10\cdot1x^{1-1}+0}{1x^{1-1}-0}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{2x^{1}-10x^{0}}{x^{0}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{2x-10}{1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=2\cdot5-10\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=10-10$

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x^{2}-10x+25}{x-5}=0}}$

Answer 2

$\lim_{x \to \ 5} 5 x^{2} -10x+25/(x-5)$
$5 x^{2} -10x+25$ é um produto notável fatorando-o fica: (x-5)²
$\lim_{x \to \ 5} (x-5)^2/(x-5)$
$\lim_{x \to \ 5} (x-5)$
$\lim_{x \to \ 5} 5-5$
Então:
$\lim_{x \to \ 5} 5 x^{2} -10x+25/(x-5)=0$