Question

lim x-> 4 √x-2 / x-4

Answer 1

lim x → 4 (√x - 2)/(x - 4)
lim x → 4 D[(√x - 2)]/D[(x - 4)]
lim x → 4 (1/2√x)
lim x → 4 (√x/2x)
Fazendo x tender a 4...
lim x → 4 (√x/2x) = (√4/2.4) = ¼

Answer 2

$\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

Quando temos um limite que envolve raízes e chegamos em uma indeterminação, geralmente multiplicamos o numerador e o denominador (vulgo racionalizar, mas o termo não se enquadra nos casos em que a raiz aparece no numerador) pelo conjugado da expressão que envolve a raiz.

Por exemplo, no limite dado, temos $\sqrt{x}-2$, então multiplicaremos em cima e embaixo por $\sqrt{x}+2$

Fazendo isso:

$\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{(\sqrt{x}-2)\cdot(\sqrt{x}+2)}{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+2)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{(\sqrt{x})^{2}-2^{2}}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{|x|-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$

Como x tende a 4, x é positivo, portanto |x| = x:

$\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$

Como x ≠ 4, podemos cancelar (x - 4):

$\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$

Essa função é contínua em x = 4, então podemos fazer substituição direta:

$\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{1}{2+2}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{1}{4}}}$

Esse limite também poderia ser resolvido pela Regra de L'Hospital

Além disso, esse limite é a definição da derivada de f(x) = √x em x = 4.