Question

lim x->1 (V2-x^2)-1/x-1

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}$

Se tentássemos substituir x por 1, teríamos uma indeterminação do tipo 0/0

Vamos manipular a expressão, para tentar acabar com a indeterminação. Multiplicando o numerador e o denominador por
√(2 - x²) + 1:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{(\sqrt{2-x^{2}}-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}{(x-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}$

Usando o produto da soma pela diferença de dois termos:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{(\sqrt{2-x^{2}})^{2}-1^{2}}{(x-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}$

Como √k² = |k|:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{|2-x^{2}|-1}{(x-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}$

Note que o gráfico de 2 - x² é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e as raízes de 2 - x² são x = - √2 x = √2. Com isso, sabemos que 2 - x² retorna valores positivos se x está no intervalo (-√2,√2) e não negativos para todo x não pertencente a esse intervalo. Como x = 1 pertence a esse intervalo, e o limite avalia a função em valores arbitrariamente próximos de 1, sabemos que |2 - x²| = 2 - x², para esse limite em particular

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2-x^{2}-1}{(x-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-x^{2}}{(x-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1^{2}-x^{2}}{(x-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}$

Como a diferença de quadrados é o produto da soma pela diferença:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{(1+x)\cdot(1-x)}{(x-1)\cdot(\sqrt{2-x^{2}}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{(1+x)\cdot(-1)\cdot(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2-x^{2}}+1)}$

Como x ≠ 1 no limite, podemos cancelar (x - 1), ficando com

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-(x+1)}{\sqrt{2-x^{2}}+1}$

Agora não temos mais indeterminação, e podemos substituir x por 1:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=\dfrac{-(1+1)}{\sqrt{2-1^{2}}+1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=-\dfrac{1+1}{\sqrt{1}+1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=-\dfrac{2}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}-1}{x-1}=-1}}$