Question

Lim X---> 0

Tg x
____
X

Answer 1

Tgx pode ser escrita como senx/cosx, então:

Lim x ->0 senx/cosx/x
Lim x ->0 senx/cosx * 1/x
lim x ->0 senx/xcosx 
Lim x -> 0 senx/x * 1/cosx

existe um limite fundamental, que diz que o limite de senx/x quando x tende a 0 é 1, então:

Lim x-> 0 1 * 1/cosx
= 1 * 1/cos0
= 1 * 1/1 = 1

Answer 2

Olá



$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 0}~ \frac{tgx}{x} }\\\\\\\\\mathsf{tgx= \frac{senx}{cosx}}\\ \\\\\\\mathsf{ \lim_{x \to 0}~ \frac{ \frac{senx}{cosx} }{x} }$



Divisão de frações, multiplica a 1ª pelo inverso da 2ª

$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 0}~ \frac{senx}{cosx}\cdot \frac{1}{x} }$



Como se trata de uma multiplicação, podemos inverter os denominadores,


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 0}~ \frac{senx}{x}\cdot \frac{1}{cosx} }$




Perceba que:

$\displaystyle\mathsf{ \frac{senx}{x}~=~1^o ~limite~fundamental~=~1 }$

e

cos(0) = 1


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to 0}~ 1\cdot \frac{1}{cos0}~=~1\cdot \frac{1}{1}~=~1 }\\\\\\\\\displaystyle\boxed{\mathsf{ \lim_{x \to 0}~ \frac{tgx}{x}~=~1 }}$




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