Question

lim x->0 (sen x) / (x^5)

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{sen~x}{x^{5}}$

Se tentarmos uma substituição direta, chegamos em 0/0, então podemos aplicar a Regra de L'Hospital, desde que o limite da direita exista:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}}$

Aplicando a Regra de L'Hospital:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{sen~x}{x^{5}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos~x}{5x^{4}}$

Avaliando o limite encontrado:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\dfrac{cos~x}{5x^{4}}=\infty$

Pois podemos tornar a função acima arbitrariamente grande, tornando x suficientemente próximo de 0, com valores maiores que zero (x pertence ao primeiro quadrante, então cos x > 0)

e:

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{-}}\dfrac{cos~x}{x^{4}}=\infty$

Pelo menos motivo, só que agora tomando valores de x suficientemente próximos de zero e menores que zero (x pertence ao quarto quadrante, então cos x > 0)

Portanto:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{sen~x}{x^{5}}=}\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{cos~x}{5x^{4}}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{sen~x}{x^{5}}=\infty}}$