Question

lim x --> 0 de (senx + cosx)^(1/x)
sem aplicar L'hopital.
Resposta: e.

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

Iremos recorre a propriedade:

$a^x=e^{ln(a^x)}=e^{x.lna}$

Ajustando o limite nos moldes acima:

$(sen(x)+cos(x))^{1/x}=e^{(1/x).ln(sen(x)+cos(x))}$

Portanto,

$lim_{x\to 0}(e^{(1/x).ln(sen(x)+cos(x))})$

Aplique L'Hospital em

$(1/x).ln(sen(x)+cos(x))$

obtemos

$\frac{(ln(senx+cosx))'}{x'}= \frac{-senx+cosx}{senx+cosx}$

Desse modo,

$lim_{x\to 0}(1/x).ln(sen(x)+cos(x))}=1$

portanto,

$lim_{x\to 0}(e^{(1/x).ln(sen(x)+cos(x))}) =e$

Bons estudos

Answer 2

Seja L o limite que queremos calcular. Isto é,

$L = \displaystyle \lim_{x \to0}\, ( \sin x + \cos x)^{\displaystyle 1/x}$

Sem usar L'Hopital, vamos recorrer aos limites fundamentais do seno e da exponencial:

( I ) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sin x}{x} = 1 \implies \lim_{ x \to 0} \, \dfrac{ 1- \cos x}{x^2} = \dfrac 12 \implies \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \cos x - 1}{x} = 0$

( II ) $\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \, \left( 1 + \dfrac 1x}\right)^x = e \implies \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln(1+x)}{x} = 1$

Voltando ao problema, como o logaritmo é contínuo vale que

$\ln L = \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{ \ln (\sin x + \cos x)}x$

supondo é claro que o limite acima exista e esteja no intervalo [0, ∞]. De fato, escrevendo sen(x) + cos(x) = 1 + t segue que quando x tende a 0, t também aproxima de 0. Daí temos

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln(\sin x+ \cos x)}x = \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln(1+t)} x = \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln(1+t)} t \cdot \dfrac tx\\[2ex] \phantom{\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln(\sin x+ \cos x)}x } = \lim_{t \to 0} \dfrac{ \ln (1+t)}t \, \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \sin x + \cos x - 1}x$

Observe na última expressão que o primeiro limite tende a 1 por ( II ) e o segundo é a soma de sen(x)/x com (cos(x) - 1)/x que também tende a 1 por ( I ). Portanto concluímos que:

ln L = 1

L = e

Portanto, o limite procurado é 'e'

Obs.: Sobre a mudança de variável notamos que:

( III ) $\dfrac { \ln ( \sin x + \cos x)}{ x}= \dfrac{\ln( \sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x -1} \cdot \dfrac { \sin x + \cos x - 1}{x}$

Assim, quando escrevermos

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln (1+t)}{x} \cdot \dfrac tx$

ainda não foi feita nenhuma mudança de variável. Apenas usamos a letra t pra representar a expressão sen(x)+cos(x)-1 e "motivar" a forma como multiplicamos e dividimos em ( III ). O passo seguinte seria separar os limites num produto de limites:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln ( \sin x+ \cos x)}{ x} = \lim_{ x \to 0} \,\dfrac{ \ln ( \sin x+ \cos x)}{ \sin x+ \cos x - 1} \cdot \lim_{ x \to 0} \, \dfrac { \sin x + \cos x -1}{x}$

A igualdade acima é verdade desde os dois limites do lado direito da equação existam (o que de fato acontece). O limite mais a direita tende a 1 e no da esquerda fazemos a mudança de variável: t = sen(x) + cos(x) - 1. Ou seja, a mudança de variável ocorre apenas nessa passagem, antes era um artifício para visualização. Essa mudança é válida pois a função f(x) = sen(x) + cos(x) - 1 é contínua e g(x) = ln(1+x)/x se x ≠ 0, g(0) = 1 também é contínua ( em f(0)). Daí, mais formalmente a mudança de variável é o mesmo que:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \ln( \sin x + \cos x)}{ \sin x + \cos x -1} = \lim_{x \to 0} g(f(x)) = g\left( \lim_{x \to 0} \, f(x) \right) = g(0) = 1$

Resposta:

O limite é e ≈ 2,718