Question

〖lim⁡〗┬(X→9)⁡〖(9-X)/(81-X²)〗=

Answer 1

✅ O limite $\textstyle\rm \lim_{x\to 9} \frac{9-x}{81-x^2}$ tende a $\rm \tfrac{1}{18}$.

 

☁️[Ideia geral] Um limite de uma função auxilia na compreensão do comportamento de uma função em determinado valor. Isto é, o que acontece com $f\rm (x)$ ao tornarmos valores suficientemente próximos de $\rm x$ tanto à esquerda quanto à direita.

$\Large \underline{\boxed{\boxed{ \displaystyle\rm \qquad \lim_{x\to a} f(x) = L \qquad }}}$

❏ Vamos calcular esse limite que foi dado usando a seguinte propriedade de limites

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \qquad \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} ,\;\:,\;\: \forall \; \: g(x) \neq 0 \qquad}}}$

“O limite do quociente é quociente dos limites ”

 

✍️

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \lim_{x\to 9} \: \frac{9-x}{81-x^2}= \frac{ \displaystyle \rm\lim_{x \to 9} 9 - x}{\displaystyle \rm\lim_{x\to 9} 81 - x^2} = \\\\\displaystyle \rm = \frac{9 - 9}{81-9^2} = \frac{0}{0}\end{array}$

⚠️ Caímos em uma indeterminação matemática, logo esse limite do jeito que está não se aplica.

 

❏ O que devemos fazer é encontrar uma maneira de eliminar a indeterminação. Vamos usar o método da fatoração para isso. Note que $\rm 81 - x^2$ é uma diferença de quadrados

$\large\begin{array}{lr}\rm (81 - x^2) = (9^2 - x^2) = (9-x)(9+x)\end{array}$

 

✍️ Aplicando no limite, temos que:

$\large\begin{array}{lr}\rm \displaystyle\rm \lim_{x\to 9} \: \frac{9-x}{(9-x)(9+x)} = \\\\ \displaystyle\rm \frac{ \displaystyle \rm\lim_{x \to 9} \: 1}{\displaystyle \rm\lim_{x\to 9} \: 9+x } = \\\\\rm \dfrac{1}{9+9} \\\\\red{\underline{\boxed{ \therefore\: \displaystyle \rm \lim_{x\to9}\:\frac{9-x}{81-x^2} = \dfrac{1}{18} }}}\end{array}$

 

✍️ Caso você estiver avançado no conceito de derivadas, você pode resolver essa questão pela Regra de L'hospital. Tal regra permite derivar a função quando houver uma forma indeterminada ( $\rm \tfrac{0}{0} \wedge \tfrac{\infty}{\infty}$ ).

$\rm \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm \qquad \displaystyle \rm \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad }}}$

 

✅ Esse é o valor do limite da função quando $\rm x \to 9$.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre limite de funções:

• https://brainly.com.br/tarefa/49019770

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$