Question

Lim x 2 √x - √2 sobre x2 – 6x + 8=

Answer 1

Resposta:

$-\frac{\sqrt{2} }{8}$ ou aproximadamente $-0,176777$.

Explicação passo a passo:

O primeiro passo é substituir o valor de $x$ pelo valor correspondente, para verificar se é uma indeterminação $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to \ 2} \frac{\sqrt{x} -\sqrt{2} }{x^{2} -6x+8}$.

⇒ $\lim_{x \to \ 2} \frac{\sqrt{2} -\sqrt{2} }{2^{2} -6(2)+8}$

⇒ $\lim_{x \to \ 2} \frac{0 }{0}$.

⇒ Indeterminação.

Já que é uma indeterminação $\frac{0}{0}$ podemos usar a regra de L'Hopital.

A regra de L'Hopital diz:

$\lim_{x \to \ c} \frac{f(x) }{g(x)} = \lim_{x \to \ c} \frac{f'(x) \ }{g'(x)}$.

Aplicando:

$\lim_{x \to \ 2} \frac{\frac{d}{dx} (\sqrt{x} -\sqrt{2}) }{\frac{d}{dx}(x^{2} -6x+8)}$.

⇒ $\lim_{x \to \ 2} (\frac{\frac{1}{2\sqrt{x} } }{2x-6})$.

⇒ $\lim_{x \to \ 2} (\frac{1}{2\sqrt{x} (2x-6)})$.

Calculando o limite:

$\frac{1}{2\sqrt{2}(2(2)-6) }$

⇒ $-\frac{1}{4\sqrt{2} }$

Racionalizando:

$-\frac{1}{4\sqrt{2} }$ × $\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$.

⇒$-\frac{\sqrt{2} }{8}$.

∴ $\lim_{x \to \ 2} \frac{\sqrt{x} -\sqrt{2} }{x^{2} -6x+8}$ = $-\frac{\sqrt{2} }{8}$.