Question

lim x^2 -2x +1/x-1 com x->1+

Answer 1

Olá

Podemos esboçar este limite de uma maneira muito simples

Primeiro, testemos se há uma divisão exata

Pelo teorema do resto, se P(x) é um polinômio dividido por (x - a), onde P(a) = 0, a divisão é exata

$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x -1}$

Temos que P(1) deverá ser igual a zero para a divisão ser exata, portanto

$P(1) = 1^2 - 2 . 1 + 1\\\\\ P(1) = 1 - 2 + 1\\\\\ P(1) = 0$

Portanto, a divisão é exata

Traduza o termo central do numerador em uma soma de termos iguais

$x^2 - x - x + 1$

Agora, encontre o agrupamento

$x(x - 1) - (x - 1)$

Logo, se tem

$(x - 1)^2$

Substitua isto na divisão

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \dfrac{(x - 1)^2}{x - 1}$

Divida o produto notável

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} x - 1$

Agora, avalie valores que se aproximam de 1 pela direita, denotado pelo sinal positivo acima do 1

Se eles se aproximam pela direita, eles são minimamente maiores que 1

Logo, testemos

1,1, tem resultado 0,1
1,01 tem resultado 0,01
1,001 tem resultado 0,001
1,0001 tem resultado 0,0001

Isto significa que quanto mais próximo de 1 pela direita, o limite é igual a zero

Portanto

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 1} = 0$