Matemática, perguntado por luciaramendes30, 1 ano atrás

lim x_ -1 x²+x-2
x²-1


juliaabrao: é so fazer bhaskara
juliaabrao: o que quer dizer esse LIM?
luciaramendes30: calcular o limite
Niiya: limite de (x² + x - 2) / (x² - 1) Quando x tende a -1?
luciaramendes30: sim

Soluções para a tarefa

Respondido por Niiya
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\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}

Vamos estudar o sinal da função em questão

f(x)=\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}

Estudando o sinal do numerador

Achando as raízes:

x^{2}+x-2=0~~~se~~~x=1~~ou~~x=-2~~(bh\'askara~ou~soma~e~produto)

O gráfico de x² + x - 2 é uma parábola com concavidade voltada para cima (pois a = 1 > 0). Tendo duas raízes reais e distintas, sabemos então que a função toma valores negativos entre as raízes, e não-negativos no resto do domínio

Então:

x^{2}+x-2~\textgreater~0~~se~x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)\\x^{2}+x-2~\textless~0~~se~x\in(-2,1)

Estudando o sinal do denominador

Achando as raízes:

x^{2}-1=0~~~\therefore~~~x^{2}=1~~~\therefore~~~x=\pm\sqrt{1}=\pm1

Da mesma forma, o gráfico de x² - 1 é uma parábola com concavidade voltada para cima. Como a função possui duas raízes reais e distintas, temos que f(x) < 0 para x entre as raízes

Então:

x^{2}-1~\textgreater~0~~~se~x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\\x^{2}-1~\textless~0~~~se~x\in(-1,~1)
_____________

Para fazer o estudo de sinais de f(x), basta fazermos o quociente de sinais (a imagem está em anexo)

f(x)~\textgreater~0~~se~x\in(-\infty,-2)\cup(-1,~1)\cup(1,+\infty)\\\\f(x)~\textless~0~~se~x\in(-2,-1)

Com isso, já percebemos que o limite não existe, pois, olhando para os limites laterais, temos que

\lim\limits_{x\rightarrow-1^{-}}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}~\textless~0

Pois, tomando x arbitrariamente próximo de - 1 pela esquerda, temos que f(x) toma valores negativos

e

\lim\limits_{x\rightarrow-1^{+}}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}~\textgreater~0

Já que, se tomarmos x arbitrariamente próximo de - 1 pela direita, f(x) retorna valores positivos

Como temos limites laterais diferentes, o limite em questão não existe

\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}~~n\~ao~existe!}}
Anexos:
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