Question

Lim (x^(1/x))
x-> inf

Answer 1

$\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}x^{1/x}=e^{\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}}\cdots\cdots \textcircled{1}$

Calculemos

$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}$

Observemos que estamos en la indeterminación  $+\infty /+\infty$ por ello se aplica la regla de L'Hospital

$\displaystyle \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x} \\ \\ \\ \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0}$

Por lo tanto

                                  $\displaystyle \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1/x}=e}$