Question

lim x → -1(x^3 + 3x^2 - x - 3)/(x^3 - x^2 + 2)

Answer 1

Olá.

Substituir o limite na função leva à indeterminação 0/0.

Isso ocorre porque há um termo comum entre o numerador e o denominador. Encontre-o e cancele-o para poder efetuar o limite normalmente. Para encontrar o termo comum basta fatorar numerador e denominador.

$\displaystyle \frac{x^3+3x^2-x-3}{x^3-x^2+2} =\frac{x^2(x+3)-(x+3)}{x^2(x-1)+2} =\frac{(x+3)(x^2-1)}{x^2(x-1)+2} =\frac{(x+3)(x-1)(x+1)}{x^2(x-1)+2}$

Estamos com um problema no denominador, pois o sinal de adição indica que o denominador ainda não está fatorado (fatores são parcelas da operação multiplicação).

Vamos então tentar outro método para fatorar o denominador $x^3-x^2+2$, o teorema das raízes racionais, que diz que podemos encontrar todos os fatores lineares de um polinômio de coeficientes inteiros encontrando os candidatos de  

$x=\pm \displaystyle \frac{p}{q}$

para todos os p que sejam divisores da constante (2) e para todos os q que sejam divisores do coeficiente de maior grau (1).

Bom,

todos os divisores de p = 2 são 1, 2, -1, -2, e

todos os divisores de q = 1 são 1, -1,

o que nos dá que as possíveis raízes racionais

$x=\pm \displaystyle \frac{p}{q}$  

de $x^3-x^2+2$   sejam

$x=\pm 1$   e   $x=\pm 2$.

Temos que ir testando cada uma delas até encontrar a raiz que torna fatorado o polinômio em questão. Para isso fazemos a divisão polinomial do polinômio pelo fator $(x - raiz)$ a ser testado, até que a divisão dê exata. Podemos efetuar essa divisão através do algoritmo da divisão ou também do método de Briot-Ruffini.

A divisão exata foi encontrada com a divisão $(x^3-x^2+2):(x+1)$, que nos deu como quociente $(x^2-2x+2)$ e resto igual a zero.  Ou seja,

$x^3-x^2+2=(x+1)(x^2-2x+2)$

Encontrada a fatoração, podemos retomar o cálculo iniciado anteriormente, e eliminar o fator comum.

$\displaystyle \frac{x^3+3x^2-x-3}{x^3-x^2+2} =\frac{(x+3)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-2x+2)}=\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+2}$

Agora, sem o fator que causava a indeterminação, é só aplicar o limite normalmente, e está terminado.

$\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^3 - x^2 + 2}= \lim_{x \to -1}\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+2}=$

$\displaystyle =\frac{(-1+3)(-1-1)}{(-1)^2-2(-1)+2}=\frac{2(-2)}{1+2+2}=\frac{-4}{5}=- \frac{4}{5}$

Estude bastante.

Abraços.