Question

Lim √x -1/x-1
x->1
Tente explicar o que foi feito

Answer 1

Se substituirmos x por 1 encontraremos uma indeterminação do tipo 0/0
Então:

$\lim_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt{x-1} }{x-1}\\\\ \lim_{x \to 1} \dfrac{{(x-1)^ \frac{1}{2} } }{x-1}\\\\ \lim_{x \to 1} (x-1)^ {\frac{1}{2}-1 }\\\\ \lim_{x \to 1} (x-1)^ {\frac{-1}{2}}\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^ {\frac{1}{2}}} \\\\ \lim_{x \to 1} \frac{1}{ \sqrt{x-1}}$

Agora vamos testar os limites quando x tende à 1 pela direita (números maiores que 1)
$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{ \sqrt{x-1}} = + \infty$

E pela esquerda (números menores que 1) não podemos testar porque não está definido nos números reais a raiz quadrada de um número negativo
Então podemos concluir que:
$\lim_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt{x-1} }{x-1} = +\infty}$

Espero que tenha entendido!