Question

lim x → 0 x^sen(x)
me ajudemmmmmmmm

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\lim_{x\to0}x^{\sin(x)} }$

Primeiramente vamos substituir o valor a qual o "x" tende para que possamos observar se há ou não indeterminação nesse limite:

$\lim_{x\to0}x^{\sin(x)} \Longrightarrow 0 {}^{ \sin(0)} \Longrightarrow0 {}^{0}$

De fato surgiu uma indeterminação, então teremos que fazer uma certa manipulação algébrica para que a mesma suma. Primeiramente vamos lembrar dessa propriedade:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{L = e {}^{ \ln( L) } }$

Ou seja, podemos escrever "L" dessa forma citada acima. Digamos então que:

$\lim_{x\to0}x^{\sin(x)}\Longrightarrow \lim_{x\to0} e {}^{ \ln(x {}^{ \sin(x)} )}$

Através de outra propriedade podemos descer o expoente sen(x), para isso usaremos a seguinte propriedade de logarítmos:

$\lim_{x\to0}e {}^{ \sin(x). \ln(x)}$

E para finalizar a aplicação de propriedades, vamos usar uma de limites:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\lim_{x\to a}e {}^{f(x)} \Longrightarrow e {}^{ \lim_{x\to a}f(x)} }$

Aplicando mais.uma propriedade:

$e {}^{\lim_{x\to0} \sin(x). \ln(x)}$

Por enquanto vamos esquecer o "e", pois será mais fácil de trabalhar. Pela trigonometria, sabemos que:

$\text{ cossec(x)} = \frac{1}{ \sin(x)} \Longrightarrow \sin(x) = \frac{1}{ \text{cossec(x)}}$

Substituindo essa informação:

$\lim_{x\to0} \sin(x). \ln(x)\Longrightarrow \lim_{x\to0} \frac{1}{ \text{cossec(x)}} . \ln(x) \\ \\ \lim_{x\to0} \frac{ \ln(x)}{ \text{cossec(x)}}$

Agora vamos usar mais uma propriedade, que será a citada abaixo:

$\: \: \: \: \: \: \boxed{ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x) }\Longrightarrow \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} }$

Aplicando a propriedade citada:

$\lim_{x\to0} \frac{ \ln(x)}{ \text{cossec(x)}} = \frac{ \lim_{x\to0} \ln(x) }{ \lim_{x\to0} \text{cossec(x)}}$

O limite de "x" tendendo a "0" de ln(x) é menos infinito, já o limite da cossecante é mais infinito, então chegamos a uma indeterminação do tipo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{ \infty } }$

Sabendo disso podemos aplicar L'Hôpital, ou seja, derivar o numeador e denominador:

$\lim_{x\to0} \frac{ \frac{d}{dx} \ln(x) }{ \frac{d}{dx} \text{ cossec(x)} } \Longrightarrow \lim_{x\to0} \frac{ \frac{1}{x} }{ - \text{cossec(x).} \cotg(x)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x\to0} \frac{ \frac{1}{x} }{ - \frac{1}{ \sin(x)}. \frac{ \cos(x)}{ \sin(x)} } \Longrightarrow \frac{ \frac{1}{x} }{ - \frac{ \cos(x)}{ \sin {}^{2}(x) } } \Longrightarrow \frac{1}{x} . \left( - \frac{ \sin {}^{2}(x) }{ \cos(x)} \right) \: \: \\ \\ \lim_{x\to0} - \frac{ \sin {}^{2} (x)}{x. \cos(x)} \Longrightarrow \frac{ \sin(x)}{x} . - \frac{ \sin(x)}{ \cos(x)} \Longrightarrow \frac{ \sin(x)}{x} . - \tg(x) \\ \\ \lim_{x\to0} \frac{ \sin(x)}{x} . \lim_{x\to0}( - \tg(x))\Longrightarrow1.0 = \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ 0}}}}}$

Lembre-se que isso estava no expoente do "e", isto é, temos que:

$e {}^{0} = 1$

Concluímos então que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\boxed{\lim_{x\to0}x^{\sin(x)} = 1}}$

Espero ter ajudado