Question

lim(x_0) (1- √1+x )/x

Answer 1

Olá!

     Faça a mudança de variável   $u = 1+x$  . Daí, temos que

$\left\{\begin{array}{lcr}u=1+x& \Rightarrow &x = u-1 \\ x\to 0 & \Rightarrow & u\to 1 \end{array}\right.\Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt{1+x}}{x} = \\ \\ \\ = \displaystyle \lim_{u\to 1}\dfrac{1-\sqrt{u}}{u-1}$

    Perceba que este limite vai para a indeterminação  $\dfrac{0}{0}$  . Mas antes da mudança de variável já ocorria isso. Então por que mudar de variável? Porque o limite que chegamos é mais agradável para aplicar a regra de L'Hospital. Assim, temos:

$\displaystyle \lim_{u\to 1}\dfrac{1-\sqrt{u}}{u-1}\;\;\overset{\text{\it{L'H}}}{=}\;\; \lim_{u\to 1}\dfrac{1-\frac{1}{2\sqrt{u}}}{1} = \dfrac{1-\frac{1}{2\cdot 1}}{1} = 1-\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}.$



Bons estudos!