Question

lim
$\frac{ {x }^ {2} - 2x }{ {x}^{3} + 3x - 7} \\ \\ x \infty$
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Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\sf \lim_{x\to \infty}\frac{ {x }^ {2} - 2x }{ {x}^{3} + 3x - 7}$

Para calcular o valor desse limite vamos iniciar fazendo a substituição do valor a qual o "x" tende.

$\sf \frac{x {}^{2} - 2x}{x {}^{3} + 3x - 7} = \frac{ \infty {}^{2} - 2 \infty }{ \infty {}^{3} + 3 \infty - 7 } = \frac{ \infty - \infty }{ \infty - 7}$

Observe que surgiu uma indeterminação, então vamos ter que fazer alguma manipulação algébrica, quando trata-se de um limite infinito, podemos dividir todos os termos pelo de maior grau do denominador, ou seja, vamos dividir todos os termos por x³:

$\sf \lim_{x\to \infty} \frac{ \frac{x {}^{2} }{x {}^{3} } - \frac{2x}{x {}^{3} } }{ \frac{x {}^{3} }{x {}^{3} } + \frac{3}{x {}^{3} } - \frac{7}{x {}^{3} } } \lim_{x\to \infty} \longrightarrow\lim_{x\to \infty} \frac{ \frac{1}{x} - \frac{2}{x {}^{2} } }{1 + \frac{3}{x {}^{3} } - \frac{7}{x {}^{3} } }$

Agora lembre-se do teorema que diz se temos uma potência de "x" no denominador e esse expoente é um número inteiro, podemos dizer que esse limite tende a "0".

$\sf \lim_{x\to \pm\infty} \frac{1}{x {}^{n} } = 0$

Aplicando esse tal teorema, teremos que:

$\sf \lim_{x\to \infty} \frac{ \frac{1}{x} - \frac{2}{x {}^{2} } }{1 + \frac{3}{x {}^{3} } - \frac{7}{x {}^{3} } }\longrightarrow \lim_{x\to \infty} \frac{0 - 0}{1 + 0 - 0 } \\ \\ \sf \lim_{x\to \infty} \frac{0}{1}\longrightarrow \lim_{x\to \infty}0 \longrightarrow0$

Portanto temos que esse limite vale:

$\boxed{ \boxed{ \sf \lim_{x\to \infty}\frac{ {x }^ {2} - 2x }{ {x}^{3} + 3x - 7} = 0}}$

Espero ter ajudado