Question

lim $\frac{cos2x}{\sqrt{2} . cosx -1}$ , quando x tende a $\frac{\pi }{4}$ OBS: $\frac{\pi}{4}$=45º

Answer 1

Resposta:

$\lim_{x \to \\pi/4} \frac{cos(2x)}{\sqrt{2}cos(x)-1 } =2$

Explicação passo-a-passo:

pela propriedade dos limites:

$\lim_{x \to \\pi/4} \frac{cos(2x)}{\sqrt{2}cos(x)-1 } =\frac{ \lim_{x \to \pi/4} cos(2x) }{ \lim_{x \to \pi/4} \sqrt{2}cos(x)-1 }=\frac{0}{0}$

Partindo desta indeterminada(0/0), e utilizando da Regra de L'Hopital:

Regra de L'Hopital diz se h(x)=f(x)/g(x)  e lim f(x)=lim g(x)=0

ou lim f'(x) = lim g'(x)=Infinito então:

lim f(x)/g(x)= lim f'(x)/g'(x)

Calculando a Derivada do Numerados: $\frac{d(cos(2x))}{dx} =-2sin(2x)$

Calculando a derivada do denominador;. $\frac{d(\sqrt{2}cos(x)-1) }{dx} =-\sqrt{2} sin(x)$

Assim:

$\lim_{x \to \\pi/4} \frac{cos(2x)}{\sqrt{2}cos(x)-1 } = \frac{\lim_{x \to \pi/4} -2sin(2x) }{\lim_{x \to \pi/4} -\sqrt{2}sin(x) } =\frac{-2}{-1} =2$