Question

Lim tendendo a zero sen 3x a dividi por sen 2x

Answer 1

Calcular o limite

$\lim\limits_{x\to 0}~\dfrac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}2x}$

A nossa intenção é fazer aparecer o limite trigonométrico fundamental:

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\mathrm{sen\,}ax}{ax}=1\qquad \mathsf{com~}a\ne 0.$

Para x ≠ 0, podemos multiplicar e dividir por x, e o limite fica

$\displaystyle=\lim_{x\to 0}~\frac{\mathrm{sen\,}3x}{\mathrm{sen\,}2x}\cdot \frac{x}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}3x}{x}\cdot \frac{x}{\mathrm{sen\,}2x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}3x}{x}\cdot \frac{1}{~\frac{\mathrm{sen\,}2x}{x}~}$

Multiplique e divida a primeira fração por 3:

$\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}3x}{x}\cdot \dfrac{3}{3}\cdot \frac{1} {~\frac{\mathrm{sen\,}2x}{x}~}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}3\cdot \frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \frac{1}{~\frac{\mathrm{sen\,}2x}{x}~}$

Multiplique e divida o denominador da 2ª fração por 2:

$\displaystyle=\lim_{x\to 0}3\cdot \frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \frac{1}{~\frac{\mathrm{sen\,}2x}{x}\cdot \frac{2}{2}}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}3\cdot \frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \frac{1}{~2\,\frac{\mathrm{sen\,}2x}{2x}}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\dfrac{3}{2}\cdot \frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \frac{1}{~\frac{\mathrm{sen\,}2x}{2x}}\\\\\\ =\dfrac{3}{2}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \frac{1}{~\frac{\mathrm{sen\,}2x}{2x}}\\\\\\ =\dfrac{3}{2}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}3x}{3x}\cdot \frac{1}{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen\,}2x}{2x}}\\\\\\ =\dfrac{3}{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{1}$

$=\dfrac{3}{2}\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

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Bons estudos! :-)