Question

lim (sin x - sin π)/(x-π), x=π sem utilizar a regra de l`hospital

Answer 1

Tem duas formas de resolver esse limite. Vou mostrar os dois :D

1ª Forma: Usando transformações trigonométricas.
Tem uma fórmula que diz o seguinte:

$sena - senb = 2sen(\frac{a-b}{2}).cos(\frac{a+b}{2})$

Fazendo a=x e $b=\pi$ temos:

$\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{2sen(\frac{x- \pi}{2}).cos(\frac{x+\pi}{2})}{x - \pi} = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{sen(\frac{x- \pi}{2}).cos(\frac{x+ \pi}{2})}{\frac{x- \pi}{2}}$

Dividindo em dois limites temos:

$\lim\limits_{x \to \pi} \frac{sen(\frac{x- \pi}{2})}{\frac{x- \pi}{2}}. \lim\limits_{x \to \pi} cos(\frac{x+ \pi}{2})$

Fazendo $\frac{x- \pi}{2}= \alpha$ temos que, quando $x \to \pi , \ \alpha \to 0$. Daí:

$\lim\limits_{\alpha \to 0} \frac{sen \alpha}{\alpha}. cos(\frac{\pi + \pi}{2}) = 1.cos \pi \\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = -1}}$

2ª Forma: Definição de derivada
A definição da derivada de uma função f num ponto a é a seguinte:

$f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$

Ora, sendo (senx)' = cosx e $a = \pi$ temos que:

$\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = cos \pi \\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = -1}}$