Question

lim (raiz cubica de 2x+6) - 2 / x-1 , com x tendendo a 1

Answer 1

$\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt[3]{2x+6}-2 }{x-1} = \frac{0}{0}$

para fatorar esse limite vamos dar um jeito de fatorar a raiz cubica fazendo a diferença dos cubos

$\boxed{\boxed{A^3-B^3=(A-B)*(A^2+AB+B^2)}}$

fazendo 
A= ∛(2x+6)  , B=2

para termos uma diferença dos cubos então teriamos que multiplicar o numerador pela segunda parte da diferença dos cubos que é
$(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)$

se vc vai multiplicar o numerador tbm tem que multiplicar o denominador pra manter a igualdade assim teremos

$\lim_{x \to 1} \frac{( \sqrt[3]{2x+6}-2 )}{(x-1)} * \frac{(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)}{(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)}$

como vimos no numerador teremos uma diferença dos cubos
$\lim_{x \to 1} \frac{( \sqrt[3]{2x+6})^3-(2)^3}{(x-1)*[(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)} \\\\ \lim_{x \to 1} \frac{2x+6-8}{(x-1)*[(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)} \\\\\lim_{x \to 1} \frac{2x-2}{(x-1)*[(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)} \\\\lim_{x \to 1} \frac{2*(x-1)}{(x-1)*[(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)} \\\\ lim_{x \to 1} \frac{2}{(\sqrt[3]{2x+6})^2+\sqrt[3]{2x+6}*2 + 2^2)} = \frac{2}{ (\sqrt[3]{2+6})^2+ 2(\sqrt[3]{2+6}+4}= \frac{2}{2^2+2*2+4}$

$= \frac{2}{12}= \frac{1}{6}$