Question

Lim √h-1 / h-1 com h tendendo a 1.​

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\bullet \: \lim_{h \to1} \frac{ \sqrt{h - 1} }{h - 1}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o x tende:

$\lim_{ h\to1} \frac{ \sqrt{h - 1} }{h - 1} = \frac{ \sqrt{ 1 - 1} }{1 - 1} = \frac{ \sqrt{0} }{0} = \frac{0}{0}$

Observe que surgiu uma indeterminação, então teremos que fazer alguma manipulação algébrica que faça com que essa tal indeterminação suma.

Para resolver esse limite, devemos lembrar de um artifício chamado racionalização, no caso dos limites podemos usar isso mesmo que a raiz esteja no numerador, então:

$\frac{ \sqrt{h - 1} }{h - 1}. \frac{ \sqrt{h - 1} }{ \sqrt{h - 1} } = \frac{ \sqrt{(h - 1)}}{(h - 1). \sqrt{h - 1} } = \frac{h - 1}{h - 1.( \sqrt{h - 1)} } = \frac{1}{ \sqrt{h - 1} }$

Agora vamos substituir o valor de "x" novamente nessa expressão equivalente e observar uma certa coisinha:

$\lim_{h \to1} \frac{1}{ \sqrt{h - 1} } = \frac{1}{ \sqrt{1 - 1} } = \frac{1}{ \sqrt{0} } = \frac{1}{0} = \boxed{ \boxed{\nexists \lim_{ h \to1} \frac{ \sqrt{h - 1} }{h - 1 } }}$

Esse limite não existe pelo simples motivo de que os limites laterais não são iguais, pois como sabemos, os teoremas nos dizem que os limites só existem se os laterais forem iguais:

$\lim_{ x\to a {}^{ + } }f(x) = \lim_{ x\to a {}^{ - } }f(x)$

Vamos fazer essa verificação, só para constar:

$\lim_{ h\to 1 {}^{ + } } \frac{ \sqrt{h - 1} }{h - 1} = \lim_{ h\to 1 {}^{ - } } \frac{ \sqrt{h - 1} }{h - 1} \\ \\ \lim_{ h\to 1 {}^{ + } } \frac{1}{ \sqrt{ h - 1}} = \lim_{ h\to1 {}^{ - } } \frac{1}{ \sqrt{h - 1} } \\ \\ \lim_{ h\to 1 {}^{ + } } \frac{1}{0 {}^{ + } } = \lim_{ h\to 1 {}^{ -}} \frac{1}{0 {}^{ - } - 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \infty = \nexists$

O limite de "h" tendendo para 1 pela esquerda nem sequer existe, pois estamos no conjunto dos reais e não existe valores para raízes negativas nesse conjunto.

• Resposta: Não existe

Espero ter ajudado