Question

lim(e^x+x)^1/x tendendo a infinito

Answer 1

Calcular o limite

     $L=\lim\limits_{x\to \infty}(e^x+x)^{1/x}$


Reescreva a função composta de exponencial em termos de exponenciais e logaritmos:

     $\displaystyle L=\lim_{x\to \infty}\exp\left[\ln\!\big((e^x+x)^{1/x}\big)\right]\\\\\\ L=\lim_{x\to \infty}\exp\left[\frac{1}{x}\cdot \ln(e^x+x)\right]\\\\\\ L=\lim_{x\to \infty}\exp\left[\frac{\ln(e^x+x)}{x}\right]\\\\\\ L=\exp\left[\lim_{x\to \infty}\frac{\ln(e^x+x)}{x}\right]$


Tomando logaritmos de ambos os lados,

     $\ln L=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln(e^x+x)}{x}$


O limite do lado direito é uma indeterminação do tipo  ∞/∞.  Podemos aplicar a regra de L'Hôpital e computar o limite do quociente das derivadas:

     $\displaystyle \ln L=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{d}{dx}\big(\ln(e^x+x)\big)}{\frac{d}{dx}(x)}\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{e^x+x}\cdot \frac{d}{dx}(e^x+x)}{\frac{d}{dx}(x)}\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{e^x+x}\cdot (e^x+1)}{1}\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to \infty}\frac{e^x+1}{e^x+x}\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to \infty}\frac{\,\diagup\!\!\!\!\!\! e^x\cdot \left(1+\frac{1}{e^x}\right)}{\,\diagup\!\!\!\!\!\! e^x\cdot \left(1+\frac{x}{e^x}\right)}\\\\\\ \ln L=\lim_{x\to \infty}\frac{1+\frac{1}{e^x}}{1+\frac{x}{e^x}}$


Observe que a exponencial cresce mais rapidamente que qualquer polinômio, de modo que

     $\displaystyle\lim_{x\to \infty}~\dfrac{x}{e^x}=\lim_{x\to \infty}~\dfrac{1}{e^x}=0$

     (esse resultado pode ser obtido usando a regra de L'Hôpital também)


Dessa forma, temos que

     $\ln L=\dfrac{1+0}{1+0}\\\\\\ \ln L=1$


Sendo assim,

     $L=e^{\ln L}\\\\ L=e^1$

     $L=e$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)