Question

Lim de raiz de X - 1 / raiz de 2x+3 - raiz de 5 quando X tende a 1
Fiz o usando outra pergunta no brainly, porem não bateu com o resultado, não sei se o livro, mas esta como raiz de 5 / 2 nele

Answer 1

É dado o limite:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt5}$

O limite possui uma indeterminação do tipo 0/0. Desse modo, não podemos calculá-lo diretamente. Aqui serão apresentadas duas soluções.

1ª) Vamos multiplicar a fração em cima e embaixo por $\sqrt{2x+3}+\sqrt5$. Veja:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt5}\\\\ L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt5}{\sqrt{2x+3}+\sqrt5}\\\\ L=\lim_{x\to1}\dfrac{(\sqrt x-1)(\sqrt{2x+3}+\sqrt5)}{\sqrt{2x+3}^2-\sqrt5^2}$

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{(\sqrt x-1)(\sqrt{2x+3}+\sqrt5)}{(2x+3)-(5)}\\\\ L=\lim_{x\to1}\dfrac{(\sqrt x-1)(\sqrt{2x+3}+\sqrt5)}{2x-2}\\\\ L=\lim_{x\to1}\dfrac{(\sqrt x-1)(\sqrt{2x+3}+\sqrt5)}{2(x-1)}$

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{(\sqrt x-1)(\sqrt{2x+3}+\sqrt5)}{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}\\\\ L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt5}{\sqrt x+1}$

Agora não há mais indeterminação no limite e podemos simplesmente substituir em sua expressão o valor para o qual x está tendendo:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}+\sqrt5}{\sqrt x+1}\\\\ L=\dfrac{\sqrt{2\cdot1+3}+\sqrt5}{\sqrt 1+1}\\\\ L=\dfrac{\sqrt{2+3}+\sqrt5}{2}\\\\ L=\dfrac{\sqrt5+\sqrt5}{2}=\dfrac{2\sqrt5}{2}\\\\ L=\dfrac{\sqrt5}{2}$

$\boxed{\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{2}}$

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2ª) Como a indeterminação é do tipo 0/0, podemos usar o Teorema de L'Hôpital:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt5}\\\\ L=\lim_{x\to1}\dfrac{(\sqrt x-1)'}{(\sqrt{2x+3}-\sqrt5)'}$

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{\frac{1}{2}x^{-\frac1 2}}{\frac{1}{2}(2x+3)^{-\frac1 2}\cdot2}\\\\ L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}}{2\sqrt x}$

Note que agora não há mais indeterminação no limite. Assim, podemos substituir nele o valor para o qual x está tendendo:

$L=\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{2x+3}}{2\sqrt x}\\\\ L=\dfrac{\sqrt{2\cdot1+3}}{2\sqrt 1}\\\\ L=\dfrac{\sqrt{2+3}}{2\cdot1}\\\\ L=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

$\boxed{\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{\sqrt{2x+3}-\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{2}}$