Question

lim (cosx-cosa)/x-a
x->a
sem utilizar l'hospital... desde já agradeço

Answer 1

Olá.

Farei o uso da Prostaférese: transformação de soma em produto.

Fórmula usada:

cos(u) - cos(v) = -2.sen[(u+v)/2].sen[(u-v)/2]


Logo, podemos escrever o limite como:

lim -2.sen[(x+a)/2].sen[(x-a)/2] / (x-a)
x→a

Podemos separar em dois limites, supondo a existência de ambos. Por simplicidade na escrita, tome ambos os limites com x→a


-lim sen[(x+a)/2] . lim sen[(x-a)/2]/[(x-a)/2]


Veja, no segundo limite, que passei o produto do 2 no numerador como divisão no denominador, e quando x→a, temos o limite fundamental sen(u)/u, que quando u→0, o limite tende a 1.

Com isso, o segundo limite tende a 1, é o primeiro é uma simples substituição, por ser uma função contínua.

= -sen[(a+a)/2] . 1

= -sen(a)

Veja que o limite dado é justamente a derivada do cosseno em x = a, que, de fato, vale -sen(a).


Bons estudos :)