Question

lim 9-x/ x 1/2 -3
x→9

Answer 1

Multiplicando o numerador e o denominador pelo "conjugado" do denominador:

$\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{(9-x)\cdot(x^{1/2}+3)}{(x^{1/2}-3)\cdot(x^{1/2}+3)}$

Temos um produto da soma pela diferença de dois termos no denominador:

(a + b)(a - b) = (a - b)(a + b) = a² - b²

Então:

$\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{(9-x)\cdot(x^{1/2}+3)}{(x^{1/2})^{2}-3^{2}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{(9-x)\cdot(x^{1/2}+3)}{|x|-9}$

Como o limite estuda o comportamento da função em valores de x arbitrariamente próximos de 9, podemos considerar x > 0 e, portanto, |x| = x:

$\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{(9-x)\cdot(x^{1/2}+3)}{x-9}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{-(x-9)\cdot(x^{1/2}+3)}{x-9}$

Como x está arbitrariamente próximo de 9, mas é diferente de 9, então podemos cancelar (x - 9), ficando com

$\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=\lim\limits_{x\rightarrow9}-(x^{1/2}+3)$

Como não temos mais indeterminação, podemos substituir direto:

$\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=-(9^{1/2}+3)\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=-(3+3)\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow9}\dfrac{9-x}{x^{1/2}-3}=-6}}$