Question

Lim [(7x+3)/(7x+4)]^x-1 sendo que x tende ao infinito
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Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{y \to \infty} \left( \frac{7x + 3}{7x + 4} \right)^{x - 1}$

Para resolvê-lo, vamos tentar deixá-lo no formato de um dos limites fundamentais, dado por:

$\lim_{y \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x } =e$

Primeiro vamos realizar a divisão polinomial:

$\frac{7x + 3}{7x + 4} = 1 - \frac{1}{7x + 4}$

Substituindo essa informação no limite:

$\lim_{y \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{7x + 4} \right) ^{x - 1}$

Estamos bem próximo, agora vamos fazer uma substituição e forçar o aparecimento de 1/x:

$\frac{1}{y} = - \frac{1}{7x + 4} \: \to \: x = - \frac{y}{7} - \frac{4}{7}$

Fazendo as devidas substituições:

$\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y} \right)^{ - \frac{y}{7} - \frac{4}{7} - 1} \: \to \: \lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y} \right)^{ - \frac{y}{7} - \frac{11}{7} }$

Podemos manipular mais um pouco lembrando da propriedade de potência da potência:

$\lim_{y \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{y} \right)^{ - y - 11} \right]^{ \frac{1}{7} }$

Agora vamos aplicar uma propriedade de divisão de potências de mesma base:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \frac{a {}^{x} }{a {}^{y} } = a {}^{x - y} } \\ \\ \lim_{y \to \infty} \left[ \frac{ \left(1 + \frac{1}{y} \right)^{ - 11} }{ \left(1 + \frac{1}{y} \right)^{ y} }\right]^{ \frac{1}{7} }$

Agora vamos aplicar esse limite em ambos os termos da fração, pois está de acordo com as propriedades de limites:

$\left[ \frac{ \lim_{y \to \infty}\left(1 + \frac{1}{y} \right)^{ - 11} }{\lim_{y \to \infty}\left(1 + \frac{1}{y} \right)^{ y} }\right]^{ \frac{1}{7} }$

Agora vamos lembrar que a divisão de uma coisa finita por outra infinita, acarreta em "0", ou seja, podemos dizer que o termo 1/y tende a 0. Já. o denominador, temos basicamente o limite fundamental, ou seja, vamos substituir logo de cara o termo exponencial (e):

$\left[ \frac{ \lim_{y \to \infty}\left(1 + 0 \right)^{ - 11} }{e }\right]^{ \frac{1}{7} } \: \to \: \left[ \frac{ 1 ^{ - 11} }{e }\right]^{ \frac{1}{7} } \\ \\ \left[ \frac{ 1 ^{ } }{e }\right]^{ \frac{1}{7} } \: \to \: \sqrt[7 ]{ \frac{1}{e} }$

Portanto temos que a resposta é:

$\boxed{\lim_{y \to \infty}\left( \frac{7x + 3}{7x + 4} \right)^{ x - 1} = \sqrt[7]{ \frac{1}{e} } }$

Espero ter ajudado