Question

Lim 5x^2+7x/3x^2+x-7

Answer 1

Resposta: L = 5/3

 

Devemos calcular o seguinte limite:

 

$L=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{5x^2+7x}{3x^2+x-7}\bigg)$

 

Se aplicarmos as principais propriedades como de costume, chegaríamos a algo como:

 

$L=\sf\dfrac{5(-\infty)^2-7\infty}{3(-\infty)^2-\infty-7}=\dfrac{\infty}{\infty}$

 

, que é uma indeterminação matemática. Para fugir disto, faz-se necessário o uso de alguns macetes algébricos. Nesse caso podemos dividir o numerador e o denominador por x², dado que ela é a maior potência de x presente na expressão. Desse modo:

 

$\begin{array}{l}L=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{\frac{5x^2+7x}{x^2}}{\frac{3x^2+x-7}{x^2}}\bigg)\\\\\sf=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{\frac{5x^2}{x^2}+\frac{7x}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{7}{x^2}}\bigg)\\\\\sf=\sf\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\bigg(\dfrac{5+\frac{7}{x}}{3+\frac{1}{x}-\frac{7}{x^2}}\bigg)\end{array}$

 

Agora sim, basta aplicar as propriedades que e o limite será válido desta vez. As propriedades que usaremos de início são:

• $\sf\underset{\sf x\to a}{lim}\bigg(\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg)=\Bigg(\,\dfrac{\underset{\sf x\to a}{lim}[f(x)]}{\underset{\sf x\to a}{lim}[g(x)]}\,\Bigg);~\underset{\sf x\to a}{lim}[g(x)]}\neq0$
• $\sf\underset{\sf x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=\underset{\sf x\to a}{lim}[f(x)]\pm \underset{\sf x\to a}{lim}[g(x)]$

• $\sf\underset{\sf x\to a}{lim}(b)=b$

.

.

.

$\begin{array}{l}L=\sf\dfrac{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(5+\frac{7}{x}\big)}{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(3+\frac{1}{x}-\frac{7}{x^2}\big)}\\\\\sf=\dfrac{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}(5)+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x}\big)}{\underset{\sf x\to-\infty}{lim}(3)+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{1}{x}\big)-\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x^2}\big)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\sf=\dfrac{5+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x}\big)}{3+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{1}{x}\big)-\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x^2}\big)}\end{array}$

 

Segundo o teorema do limite no infinito, temos que:

$\sf \underset{x\to\pm\infty}{lim}\bigg(\dfrac{a}{x^b}\bigg)=0~;~a\in\mathbb{R}^*,b\in\mathbb{Z}_+^*$

Isso acontece pois se dividirmos um número real (diferente de zero) por um número enorme, que seja infinito positivo ou negativo, o resultado se aproximará de zero, isto é, tenderá a zero. Por isso:

 

$\begin{array}{l}L\sf=\dfrac{5+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x}\big)}{3+\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{1}{x}\big)-\underset{\sf x\to-\infty}{lim}\big(\frac{7}{x^2}\big)}=\dfrac{5+0}{3+0-0}=\red{\boldsymbol{\boxed{\sf\dfrac{5}{3}}}}\end{array}$

 

Então o limite de $\sf\frac{5x^2+7x}{3x^2+x-7}$ tendendo ao menos infinito existe e é igual a 5/3.