Question

Lim 4x²+x+3/3x³+5x²+x+2 com x tendendo a infinito

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{4x^2+x+3}{3x^3+5x^2+x+2}=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos calcular o seguinte limite:

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{4x^2+x+3}{3x^3+5x^2+x+2}$

Para tanto, lembre-se que as funções polinomiais são contínuas em toda reta real. Porém, não podemos calcular somente a razão dos limites, pois assim ele seria divergente.

Então, dividimos o numerador e o denominador pelo fator de maior grau. Neste caso, $x^3$. Assim, teremos:

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{\dfrac{4x^2+x+3}{x^3}}{\dfrac{3x^3+5x^2+x+2}{x^3}}$

Reescreva a fração da soma como uma soma de frações

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{\dfrac{4x^2}{x^3}+\dfrac{x}{x^3}+\dfrac{3}{x^3}}{\dfrac{3x^3}{x^3}+\dfrac{5x^2}{x^3}+\dfrac{x}{x^3}+\dfrac{2}{x^3}}}$

Simplifique as frações

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}}{3+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}}}$

Sabendo que as funções são contínuas para $x\neq 0$, teremos

$\dfrac{\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}}{\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~3+\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}}}$

Sabendo que $\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{1}{x^n}=0,~\forall{n}>0$ e $\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~a=a$, tal que $a$ é uma constante, temos

$\dfrac{0+0+0}{3+0+0+0}$

Some os valores

$\dfrac{0}{3}$

Calcule a fração

$0$

Este é o valor deste limite.