Question

lim (3x^2-2x-5/-x^2+3x+4)^3 x > 2

Answer 1

TEOREMA
Se $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=L$ e $f$ é contínua em $L$, então

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(g(x))=f\left(\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\right)=f(L)}}$
____________________________

$\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}$

Como x = 2 não zera o denominador, 2 está no domínio da função. Então, como funções racionais são contínuas em seu domínio, temos que a função é contínua em x = 2.

Usando o teorema dado, temos que

$\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\dfrac{3\cdot2^{2}-2\cdot2-5}{-2^{2}+3\cdot2+4}\right)^{3}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\dfrac{3\cdot4-4-5}{-4+6+4}\right)^{3}$

$\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\dfrac{12-9}{6}\right)^{3}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\dfrac{3}{6}\right)^{3}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{3x^{2}-2x-5}{-x^{2}+3x+4}\right)^{3}=\dfrac{1}{8}}}$