Question

lim ³√x- ³√2/x-2, x tende a 2​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de limites.

Seja o limite:

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}}{x-2}$

Reescreveremos a fração utilizando a propriedade da diferença de dois cubos: $a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)$.

Então, considere $a=\sqrt[3]{x}$ e $b=\sqrt[3]{2}$. Assim, teremos:

$(\sqrt[3]{x})^3-(\sqrt[3]{2})^3=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2})\cdot({\sqrt[3]{x}}^2+\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{2}+{\sqrt[3]{2}}^2)$.

Calcule a potência e multiplique os termos

$x-2=(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2})\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4})$

Então, isolamos $\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}$ dividindo ambos os lados da igualdade por $\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{2}=\dfrac{x-2}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}$

Assim, o limite se torna:

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\dfrac{x-2}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}}{x-2}$

Calcule a fração de frações e simplifique-a por um fator $x-2$

$\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x-2)\cdot(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}\\\\\\ \underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{2x}+\sqrt[3]{4}}$

Por fim, sabendo que a função é contínua em $\mathbb{R}$, aplicamos a propriedade de limites: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2\cdot2}+\sqrt[3]{4}}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4}}\\\\\\ \dfrac{1}{3\sqrt[3]{4}}~~\checkmark$

Este é o resultado deste limite.

Answer 2

Olá, siga a explicação:

Sendo:

$\mathrm { \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \dfrac{\sqrt[3]{\mathrm {x} }- \sqrt[3]{\mathrm {2}} } {x-2} \right ) }$

Logo, Temos de:

$\mathrm {Aplica ~ regra ~ de ~ L' ~ Hospital:} \\ \\ \mathrm { \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \dfrac{ \dfrac{1}{3x ^{\frac{2}{3} } } }{1} \right ) } \\ \\\mathrm { \dfrac{ \dfrac{1}{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3} } } }{1} }$

Simplifica:

$\boxed { \mathrm {\dfrac{1}{3 \cdot 2 ^{\frac{2}{3} } } \approx 0,20998 \dots} }$

• Att. MatiasHP